矩阵分析 课件 第6章 矩阵函数.pptx

第6章矩阵函数

6.1矩阵的微分与积分

定义6.1以变量t的函数为元素的矩阵A(t)=(a,()n

称为函数矩阵，其中a(t)(i=1,2,…,m;j=1,2,…n)都是变量

t的函数。若每个a,(t)在[a,b]上连续、可微、可积，

则称A(t)在[a,b]上是连续、可微、可积的。当A(t)

可微时，规定其导数为A(t)=(a;(t)mxn或

A(t)关于纯变量t的积分为

1函数矩阵的微分与积分

解：

例6.2设求

解：

例6.1求下述函数矩阵对变量t的导数

求导法则

定理6.1

(A(t)可以纯量函数，也可以为函数矩阵)

定理6.2设A(t)与B(t)是区间[a,b]上适当阶数的可积矩阵，

,A与B是适当阶数的常数矩阵，λ∈C则

连续：连续可微：

积分法则

2数量函数对矩阵变量的导数

f:Cm×n→C(或R)

定义6.2设X(t是mn阶变量矩阵，设f(X)

为mn元可微的数量函数，定义函数f(X)关于变量矩阵X的导数为

梯度

变量矩阵为m维向量X=[5与…5,则函数

f(X)关于X的导数，即为f对X的梯度，即

例6.3设矩阵

所以

解

例6.4设矩阵A,Xmf(X)=tr(AX)求x

解

又

所以

例6.5a,x都为n维向量，f(x)=a⁷x=xa求d

解因为

所以

定义6.3设X(t是n■n阶变量矩阵，设F(X)

为s×t的矩阵函数，定义函数F(X)关于变量矩阵X的导数为

3矩阵值函数对矩阵变量的导数

例6.6设

1厂

解

求

(Xa)T=(x₁a+x₂a₂+X₃a₃+x₄a₄,x₂₁a₁+x₂₂a₂+X₂₃a₃+X₂4a₄)

所以

a₄,X₂x₄求d(Xa”,d(Xa

因为

例6.7

解

x为n维列向量，求dx和

例6.8

解

01函数矩阵的微分与积分

02数量函数对矩阵变量的导数

03矩阵值函数对矩阵变量的导数

本节小结

本节作业

第6章矩阵函数

6.2矩阵序列的极限

设A⁰),A¹),.,Ak),是向量空间Cmn中的无穷序列，记为{Ak)}k=0

A(k)的(i,j)元记为

定义6.4设A(k)为矩阵序列，若极限

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

均存在，则称矩阵序列{A(k}收敛于矩阵A,记为

否则，称为发散序列

1矩阵序列的极限

的极限为

例向量序列

例

,

.

定理6.3

设·是Cm×n上的任一矩阵范数，Cm×n中矩

阵序列收敛于矩阵A的充分必要条件是

证明先取m₁范数

所以

(任一种矩阵范数)

又由范数的等价性知

的充分必要条件是

的充分必要条件是

故

证明

A(k)-A≤A(k)-A

推论

矩阵序列的性质

(3)(若A(k)和A均可逆)

(4)极限的唯一性

定义6.5Aac收敛矩阵

定理6.4设A∈Cnn,则limA*=0的充分必要

k→00

条件是p(A)1.

证明(必要性)已知A为收敛矩阵，则由谱半径的性质，有

(p(A))k=p(Ak)≤||AkⅡ

即有

2收敛矩阵

A(k)=Ak的情况

故p(A)1

(充分性)已知p(A)1,则存在正数E

p(A)+E1

根据定理5.12,存在矩阵范数Ⅱ·lm,使得||A|lm≤p(A)+E1

从而由|ⅡAIm≤AI临得,

,使得

故

;

(1)可求得a=5,所以A是收敛矩阵。

(2)因为||Al|=0.81,所以A是收敛矩阵。

推论设A∈Cn×n,如果存在C×n上的一种

矩阵范数·使A1,则

例6.9判断下列矩阵是否为收敛矩阵

●

01矩阵序列的极限

02收敛矩阵

本节小结

本节作业

第6章矩阵函数

6.3矩阵级数与幂级数

1矩阵级数

定义6.6设是Cm×n矩阵序列，其中Ak)∈Cm×n,

A¹)+A(2)+…+A(k)+…称为矩阵级数，

记对正整数k≥1,记

若矩阵序列{S×}收敛，且有极限S,即f

则称矩阵级收敛，并称