中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国）专题1共顶点模型（解析版）.pdfVIP

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

1

专题共顶点模型

解题策略

模型1：等腰三角形共顶点

模型2：等腰直角三角形共顶点

模型3：等边三角形共顶点

模型4：相似三角形共顶点

经典例题

【例】（全国九年级专题练习）如图，△等边三角形，为边上一点，连接，为

12022··DACBDMBD

的中点，连接AM．

(1)如图1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求△面积；

3

如图，过点作⊥与交于点，与的延长线交于点，求证：＝；

(2)2MACEBCNADCN

如图，在（）的条件下，将△沿翻折得△，连接，当取得最小值时，直接写出

(3)32AMBNBN

−

的值．

【答案】(1)3+3；

(2)证明见解析；

321

(3)

14

【分析】（）过点作⊥，根据∠＝，∠＝解三角形求出，可得

1DDHABABD45°BAC60°=3=23

=6+23再结合三角形中学性质即可解得；

（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接MG，又中位线性质和∠=60°，得∠=30°，再通过四

点共圆证明∠=∠=30°，进而可得∠=60°，从而可证明△为等边三角形，延长AM到

，使，连接，构造△≅△得，继而证明△≅△（），从而可得=，

PMPAMPNADBPSAS

由此即可得出结论；

（3）取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，通过构造△∼△，得出即D为AC

的中点时，取最小值，再结合题目条件解三角形即可求解．

(1)

解：如解图，过点作⊥，

1DDHAB

∵∠ABD＝45°，

∴=，

∵在△为等边三角形中，∠＝，

ABCBAC60°

∴tan∠==3，

∴=3，

∴=+=3+，

又∵AB＝2+2，

3

∴3+=23+2，

∴=2，

∴=3=23，

11

∴=·=(23+2)×23=6+23，

22

∵M为BD的中点，

11

∴=(6+23)=3+3；

22

(2)

如解图，过点作⊥垂足为，连接，

2AGMG

∵△ABC为等边三角形，

∴BGGC，

∵BMDM，

∴//，

∴∠=∠=60°，

∴∠=∠−∠=90°−60°=30°，

又∵⊥，⊥

∴∠=∠=90°，

∴A、M、G、N四点共圆，

∴∠=∠=30°，

∴∠=90°−∠=60°，

又∵MPAM，⊥