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高中基本不等式的十一类经典题型

种类一：基本不等式的直接运用

种类二：分式函数利用基本不等式求最值

种类三：分式与整式乘积结构的基本不等式

种类四：1的妙用

种类五：利用整式中和与积的关系来求最值

种类六：两次运用基本不等式的题型

种类七：负数的基本不等式

种类八：化成单变量形式☆

种类九：与函数相联合

种类十：鉴别式法

种类十一：结构

高考真题

a51f(x)ax，若实数m、n知足f(m)f(n)mn

10.已知，函数，则、的大小

2

关系为▲.

[分析]考察指数函数的单一性.

a51(0,1)f(x)ax在R上递减.由f(m)f(n)

，函数得：mn.

2

种类一、基本不等式的直接运用

1（1）求yx(4x)(0x4)的最大值，并求取时的x的值（改y2x(4x)）

（2）求yx4x2(0x2)的最大值，并求取最大值时x的值

（3）求y2

x4x(0x2)的最大值，并求取最大值时x的值

11,

2x0,y0,4则xy的最小值是

xy

1

3x0,y0,41,则xy的最小值是

xy

y

4已知x，y为正实数，且x＋2

2

2

2＝1，求x1＋y的最大值

2

5.fx=m2x+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单一递减，

假如函数（）（﹣）

则mn的最大值为18．

1/61/6

2

【解答】解：∵函数f（x）=（m﹣2）x+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[，2]上

单一递减，

∴f′（x）≤0，即（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒建立．

而y=（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．

故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即，

由②得m≤（12﹣n），

∴mn≤n（12﹣n）≤=18，

当且仅当m=3，n=6时获得最大值，经查验m=3，n=6知足①和②．

∴mn的最大值为18．

故答案为：18．

种类二、分式函数利用基本不等式求最值

(x5)(x2)

1设x1，求函数y的最值

x1

1

2已知x1，求yx2