向量知识点题型归纳.docx

专题--平面向量

1.向向量的相关概念、、

2.向量的线性运算

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向一样的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，则向量的坐标与向量的终点坐标一样。

三．平面向量的根本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，则对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。如

〔1〕假设，则______〔答：〕；

〔2〕以下向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A.B.

C.D.〔答：B〕；

〔3〕分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____〔答：〕；

〔4〕中，点在边上，且，，则的值是〔答：0〕

四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向一样，当0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。

五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，

称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积〔或内积或点积〕，记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

〔1〕△ABC中，，，，则_________〔答：－9〕；

〔2〕，与的夹角为，则等于___〔答：1〕；

〔3〕，则等于____〔答：〕；

〔4〕是两个非零向量，且，则的夹角为____〔答：〕

3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如

，，且，则向量在向量上的投影为______〔答：〕

4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。

5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：

①；

②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；

③非零向量，夹角的计算公式：；④。如

〔1〕，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______

〔答：或且〕；

〔2〕的面积为，且，假设，则夹角的取值范围是_________〔答：〕；

六．向量的运算：

1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则〞进展，但“平行四边形法则〞只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则〞：设，则向量叫做与的和，即；

②向量的减法：用“三角形法则〞：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点一样。如

〔1〕化简：①___；②____；③_____

〔答：①；②；③〕；

〔2〕假设正方形的边长为1，，则＝_____〔答：〕；

〔3〕假设O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____〔答：直角三角形〕；

〔4〕假设为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___〔答：2〕；

〔5〕假设点是的外心，且，则的内角为____〔答：〕；

2．坐标运算：设，则：

①向量的加减法运算：，。如

作用在点的三个力，则合力的终点坐标是〔答：〔9,1〕〕

②实数与向量的积：。

③假设，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如

设，且，，则C、D的坐标分别是_____〔答：〕；

④平面向量数量积：。

⑤向量的模：。如

均为单位向量，它们的夹角为，则＝_____〔答：〕；

⑥两点间的距离：假设，则。

七．向量的运算律：

1．交换律：，，；

2．结合律：，；

3．分配律：，。

如

以下命题中：①；②；③

；④假设，则或；⑤假设则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的选项是_____〔答：①⑥⑨〕

提醒：〔1〕向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；〔2〕向量的“乘法〞不满足结合律，即，为什么？

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