备战2025年中考数学必刷真题考点分类专练（全国）专题33四边形压轴综合问题【解析版】.pdf

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题33四边形压轴综合问题

一、解答题

1．（2022·甘肃兰州·中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，

在正方形中，是的中点，⊥，与正方形的外角△平分线交于点．试猜想

ABCDEBCEPPAE

与的数量关系，并加以证明；

EP

【思考尝试】同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图中补全图形，解答老

(1)ABFEF1

师提出的问题．

(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD

中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△是等腰直角三角形，∠=90°，连接CP，可以求出

∠的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图，在正方形

(3)3

ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△是等腰直角三角形，∠=90°，连接DP．知

道正方形的边长时，可以求出△周长的最小值．当=4时，请你求出△周长的最小值．

【答案】答案见解析

(1)

(2)45°，理由见解析

(3)4+45，理由见解析

【解析】

【分析】

（）取的中点，连接，利用同角的余角相等说明∠＝∠，再根据证明△≌△，

1ABFEFPECBAEASAAFEECP

得AE＝EP；

（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP（SAS），再说明

△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；

（）作⊥，交的延长线于，交于，连接，则△是等腰直角三角形，可知点

3DGCPBCGCPOAGDCGD

与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案．

(1)

解：＝，

AEEP

理由如下：取的中点，连接，

ABFEF

∵F、E分别为AB、BC的中点，

∴AF＝BF＝BE＝CE，

∴∠＝，

BFE45°

∴∠＝，

AFE135°

∵CP平分∠DCG，

∴∠DCP＝45°，

∴∠＝，

ECP135°

∴∠＝∠，

AFEECP

∵AE⊥PE，

∴∠AEP＝90°，

∴∠∠＝，

AEB+PEC90°

∵∠∠＝，

AEB+BAE90°

∴∠PEC＝∠BAE，

∴△AFE≌△ECP（ASA），

∴＝；

AEEP

(2)

解：在AB上取AF＝EC，连接EF，

由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，

∵＝，＝，

AFECAEEP

∴△≌△（），

FAECEPSAS

∴∠ECP＝∠AFE，

∵AF＝EC，AB＝BC，

∴＝，

BFBE

∴∠＝∠＝，

BEFBFE45°

∴∠AFE＝135°，

∴∠ECP＝135°，

∴∠＝；

DCP45°

(3)

解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，

由（）知，∠＝，

2DCP45°

∴∠