四川省德阳市博雅明德高级中学2025届高三上学期期中检测数学试题.docxVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

四川省德阳市博雅明德高级中学2025届高三上学期期中检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知复数，则的虚部是（????）

A．2 B． C． D．

3．一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（????）

A． B． C． D．

4．已知，则（????）

A．3 B． C．2 D．

5．设，则使成立的一个充分不必要条件是（????）

A． B．

C． D．

6．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

7．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（????）

A． B．为偶函数

C． D．的值域为

10．等差数列中，，则下列命题正确的是（???）

A．若，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，则

11．已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（????）

A．当为中点时，与所成角余弦值为

B．当面时，点的轨迹长度为

C．的取值范围为

D．与所成角的范围为

三、填空题

12．已知向量，则的最小值为.

13．函数在内存在单调递增区间，则的取值范围是.

14．双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，，离心率为，已知函数的图象也是双曲线，其离心率为.则其离心率.

四、解答题

15．如图所示，直线之间的距离为2，直线之间的距离为1，且点分别在上运动，，令.

(1)判断能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由;

(2)求面积的最小值.

16．某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.

(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少?

(2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.

(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据：若，则：；；.

17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点.

(1)若为中点，证明：平面；

(2)若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由.

18．已知函数.

(1)当时，求曲线在处切线的方程；

(2)当时，试判断零点的个数，并说明理由；

(3)是否存在实数，使是的极大值，若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.

19．已知数列满足，数列为公差为的等差数列，且满足.记，称为由数列生成的“函数”.

(1)求的值；

(2)若“1-函数”，求n的最小值；

(3)记函数，其导函数为，证明：“函数”.

附：

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

A

D

B

B

D

C

AC

ABD

题号

11

答案

ABC

1．D

【分析】首先对集合化简，再求交集即可.

【详解】由,

，

则，

故选：D.

2．D

【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.

【详解】因为，

所以的虚部为.

故选：D.

3．A

【分析】根据古典概型概率公式求解.

【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为.

故选：A.

4．D

【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.

【详解】.

故选：D.

5．B

【分析】根据充分条件及必要