2024年中考数学压轴题解题模板—几何背景下的线段最值问题.pdfVIP

2024年中考数学压轴题解题模板—⼏何背景下的线段最值问题

题型⼀垂线段最短问题

解题模板：

技巧精讲：垂线段最短模型

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的⼀个动点，过点D分别作

DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最⼩值为（）

A．B．C．3D．4

【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三⾓

形⾯积即可解决问题．

【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，

∴BC＝＝5，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，

∴四边形DMAN是矩形，

∴MN＝AD，

∴当AD⊥BC时，AD的值最⼩，

此时，△ABC的⾯积＝AB×AC＝BC×AD，

∴AD＝，

∴MN的最⼩值为；

故选：A．

【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三⾓形⾯积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型．

【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意⼀点．若CD＝5，则

DE的最⼩值等于（）

A．2.5B．4C．5D．10

【分析】根据⾓平分线的性质即可得到即可，

【解答】解：当DE⊥AB时，DE的值最⼩，

∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，CD＝5，

∴DE的最⼩值＝CD＝5，

故选：C．

【点评】本题考查的是⾓平分线性质，关键是知道垂线段最短，本题⽐较典型，难度适中．

【变式1-2】如图,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上⼀个动点,连接PD,以

PD为边在PD的下⽅作等边三⾓形PDQ,连接CQ.则CQ的最⼩值是(）

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A.B.1C.2D.

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如图，CD的上⽅,作等边ACDM,连接PM,过点M作MHLCB于H.

∵△DPQ,△DCM都是等边三⾓形

∴∠CDM=∠PDQ=60°

∴DP=DQ,DM=DC,

∴△DPM≌△DQC(SAS),

∴PM=CQ.

∴PM的值最⼩时，CQ的值最⼩，

1

当PM⊥MH时，PM的最⼩值=CH=CD=1

2

∴CQ的最⼩值为1故选:B.

题型⼆将军饮⻢问题

解题模板：

技巧精讲：

1、“将军饮⻢”模型

2、线段差最⼤值问题模型：

【例2】（德州中考）如图，正⽅形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对⾓线BD上的⼀个动

点，则EM+CM的最⼩值是（）

A．B．C．D．

【分析】要求ME+MC的最⼩值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从⽽

找出其最⼩值求解．

【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，

∵A、C关于BD对称，

∴AE就是ME+MC的最⼩值，

∵正⽅形ABCD中，点E是BC上的⼀定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，

∵AB＝，

∴AE＝＝2，

∴ME+MC的最⼩值是2．

故选：C．

【点评】本题主要考查的是轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应⽤、正⽅形的性质，明确当点

A、M、E在⼀条直线上时，ME+MA有最⼩值是解题的关键．

【变式2-1】（菏泽中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对⾓线BD上的⼀个动点，

CF＝BF，则MA+MF的最⼩值为（）

A．1B．C．