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《现代控制理论基础》(讲义)
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现代控制理论基础
第一章系统描述
1.1引言
一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。
经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。
本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的
《现代控制理论基础》(讲义)
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状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MATLAB进行各种模型之间的相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出几种主要的设计方法。
本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。1.2节介绍传递函数的状态空间表达式，并给出状态空间表达式的各种标准形。
1.3节讨论用MATLAB进行系统模型的转换（如从传递函数变
换为状态空间模型等）。
1.2状态空间表达式
为获得传递函数的状态空间表达式，有多种方法。在《系统分析与控制》中曾介绍过几种。本节将介绍状态空间的能控标准形、能观测标准形、对角线形与Jordan标准形，在例1.17~1.21中将讨论由传递函数获得这些状态空间表达式的方法。
1.2.1状态空间表达式的标准形式
考虑由下式定义的系统：
y(n)+a1y(n?1)+…+an?1y.+any=bou(n)+b1u(n?1)+…+bn?1u.+bnu
式中u为输入，y为输出。该式也可写为
(1.1)
(1.2)
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下面给出由式（1.1）或式（1.2）定义的系统状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线形（或Jordan形）标准形。
1.2.1.1能控标准形
下列状态空间表达式为能控标准形：
在讨论控制系统设计的极点配置方法时，这种能控制准形是非常重要的。从式（1.1）或式（1.2）到式（1.3）和式（1.4）的推导，可见例1.17。
1.2.1.2能观测标准形
下列状态空间表达式为能观测标准形：
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+bou(1.6)
注意，式（1.5）给出的状态方程中n×n维系统矩阵是式（1.3）所给出的相应矩阵的转置。
1.2.1.3对角线标准形
参考由式（1.2）定义的传递函数。这里，考虑分母多项式中只含相异根的情况。对此，式（1.2）可写成：
(1.7)
该系统的状态空间表达式的对角线标准形由下式确定：
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+bou(1.9)
1.2.1.4Jordan标准形
下面考虑式（1.2）的分母多项式中含有重根的情
pip1＝p2=p3pi
况。对此，必须将前面的对角线标准形修改为Jordan标准形。例如，假设除了前3个即相等外，其余极点相异。于是，Y（s）/U(s)因式分解后为：
该式的部分分式展开式为
Y(s)=b+c1+c2+c3+c4+…+cnU(s)0(s+p1)3(s+p1)2(s+p1)s+p4s+pn
该系统状态空间表达式的Jordan标准形由下式确定：
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+bo
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