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双线性函数和二次型

双线性函数中有两个特例，即对称双线性函数和反对称双线性函数，而二次型又是对称双线性函数的特例.二次型在数学和物理中的应用极其广泛，如线性二次型的最优控制是一种常用的最优控制系统设计方法；在动力学中遇到的许多问题都是由两个实二次型描述的等许多应用.因此，研究双线性函数和二次型是非常重要的，具有极高的应用价值.

1双线性函数

1.1双线性函数的定义

定义1.1.1V是数域上一个线性空间，是上一个二元函数，即对V中任意两个向量,,根据都唯一地对应于中一个数.如果有下列性质：

（1）

（2）

其中,，，，，是V中任意向量，，是中任意数，则称为V上一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V上双线性函数，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.如欧氏空间V的内积是V上双线性函数.

1.2度量矩阵

取V上的一组基,设=(),=(),再设

=()=()X,

=()=()Y,

则=(,)

=(1)

令

=,i,j=1,2,…,n,

A=,

则（1）就成为

＝（2）

也可以表示为

=（3）

则（2）或（3）式实际上就是数域上任意n维线性空间V上的双线性函数的一般形式.即是上的一个双线性函数.

定义1.2.1设是数域上n维线性空间V上的一个双线性函数.是V的一组基，则矩阵

A=

叫做在下的度量矩阵.

经过上面的讨论，取定V的一组基后，每个双线性函数都对应于一个n级矩阵，就是这个双线性函数在基下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定。而且，不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的.

反之，任给数域上一个n级矩阵

A=,

对V中任意向量=及=，其中，=(),用

==

定义的函数是V上一个双线性函数.易计算出在下的度量矩阵就是A.因此，在给定的基下，V上全体n级矩阵与双线性函数之间是一个双射.

1.3矩阵合同的概念和性质

定义1.3.1数域上n×n矩阵,称为合同的，如果有数域上可逆的n×n矩阵，使

合同是矩阵之间的一个关系，这种合同关系具有

1）反身性：；

2）对称性：由,即得；

3）传递性：由和,即得.

在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？设及线性空间V的两组基：

=（）

,是V中两个向量

==

==

那么

，

如果双线性函数在及下的度量矩阵分别为,.则有

==

又

=

因此，

这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.

定义1.3.2设是线性空间V上一个双线性函数，如果，对任意∈V，可推出=0，就叫做非退化的.

可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是非退化的.

设双线形函数在基下的度量矩阵为，则对

=，=

有

=

如果向量满足=0，对任意∈V，那么对任意都有

因此

而有非零向量使上式成立的充要条件为是退化的，因此易证双线形函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵.

1.4对称双线性函数与反对称双线性函数的定义

定义1.4.1是线性空间上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向

量,都有

=

则称为对称双线性函数.如果对V中任意两个向量,都有

=

则称为反对称双线性函数，这就是说双线性函数是对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵；双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.

二次型

2.1二次型的定义

定义2.1.1设V是数域上线性空间，是V上双线性函数，当时，V上函数称为二次型.

2.2不同基下的二次型的矩阵

给定V上一组基，设的度量矩阵为A=.对V中任一向量=，有，

==

当=时，则

=(1)

即二次型又可以表示为

=(2)

所以二次型（1）又可以写成

=

=(3)