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高中数学基本不等式训练题(含

答案)

高中数学基本不等式训练题(含答案)

1．若xy＞0，则对xy＋yx说法正确的是()

A．有最大值－2B．有最小值2

C．无最大值和最小值D．无法确定

答案：B

2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最

大值是()

A．400B．100

C．40D．20

答案：A

3．已知x2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．

答案：24

4．已知f(x)＝12x＋4x.

(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；

(2)当x＜0时，求f(x)的最大值．

解：(1)∵x＞0，12x，4x＞0.

12x＋4x212x4x＝83.

当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，

当x＞0时，f(x)的最小值为83.

(2)∵x＜0，－x＞0.

则－f(x)＝12－x＋(－4x)212－x－4x＝83，

当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．

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A．①②B．②③

C．③④D．①④

解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．

①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，

故①的推导过程正确；

②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)

时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；

③∵aR，不符合基本不等式的条件，

4a＋a24aa＝4是错误的；

④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy

＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条

件，故④正确．

5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()

A．2B．22

C．4D．5

解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab

＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.

6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

A．最大值64B．最大值164

C．最小值64D．最小值164

解析：选C.∵x、y均为正数，

xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，

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当且仅当8x＝2y时等号成立．

xy64.

二、填空题

7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．

答案：1

8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，

其值为________．

解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.

答案：大116

9．(2019年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，

则xy的最大值为________．

解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.

当且仅当x3＝y4时取等号．

答案：3

三、解答题

10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；

(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．

解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.

y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5

2x＋14x＋1＋5＝9，

当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．

x＝1时，函数的最小值是9.

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(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1

＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.

(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.

当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，

y有最小值8.

11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b

－1)(1c－1)8.

证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，

1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，

同理1b－12acb，1c－12abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.

当且仅当a＝b＝c时取等号．

12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米

的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价

为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底

建造单价每平方米60元