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武汉大学2020年强基计划数学试题
考试科目：数学与逻辑
不定项选择题：共15小题，每题答案完全正确得满分；选对但不全得部分分；选错得0分.
1.设圆的半径为3，其一条弦，为圆上任意一点，则的最大值为（）
A.0 B.1 C.3 D.4
【答案】D
【解析】
【分析】通过基底转化，将转化，其中，能够直接与求出数量积，能够求出与数量积的表达式，且可以判断范围，从而确定数量积的最大值
【详解】
将所求数量积进行转化得：，如上图所示，根据投影定理可得：，，为所成角，因为为圆上任意一点，所以时，取得最大值12，此时，则的最大值为4
故选：D
2.设实数满足，则的最小值为（）
A.0 B.2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，两边平方，设，则，代入平方表达式，再设，利用，解出即可．
【详解】解：设，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，即，解得或（舍去），
的最小值是，
故选：C．
3.过椭圆的中心作两条互相垂直的弦和，顺次连接得一四边形，则该四边形的面积可能为（）
A.10 B.12 C.14 D.16
【答案】B
【解析】
【分析】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示的坐标，代入椭圆方程，求得关于α的函数表达式，进而得到关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.
【详解】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为α，
并根据题意不妨设到为逆时针旋转,
则,
，,
,
,
，
∴,,
当时取到最小值，当时取得最大值.
只有选项B中的12在此范围内，
故选：B.
4.设的内角的对边分别为.若，则（）
A.
B.
C.的面积最大值为
D.的周长最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及基本不等式化简即可。
【详解】由
化简得：
因为
所以
故A正确
又由
当且仅当时取等号
三角形的周长
由余弦定理得
因（当且仅当时取等号）
所以，，排除D
故选:AC
5.设正整数使得关于的方程在区间内恰有个实根，则（）
A.
B.
C.
D.，，成等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用函数图象，结合图象判断每个选项即可.
【详解】解：如图所示，函数与函数恰有个交点.
选项A，根据对称性可知，正确；
选项B，考虑在区间内，两函数在时相切，所以，
所以满足，
而，
所以，正确；
选项C，两函数在时相切，所以，所以，正确；
选项D，若，，成等差数列，则因为，关于原点对称，所以必有，即，则，则，
故不符合题意，错误.
故选：ABC.
6.两个半径为实心球体，它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出包含这两个实心球体的最小实心球的半径为，求出，再求极限即可求解.
【详解】包含两个实心球体的最小实心球的半径为，
则，
所以
，
故选：B.
7.空间图形的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由可确定在围成的正方体内，再分别考虑的图形即可
【详解】如图，易得在围成的正方体内，又，故可得构成的图形为边长为1的正方体内的一个三棱锥，故体积为
故选：B
【点睛】遇到几个不等式围成的空间图形，可分步分析，先确定大致范围，再逐步精细
8.如图，延长圆的一条弦至，过点作圆的切线，，切点分别为，，为上一点，满足，则下列结论正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根据弦切角定理和圆周角定理可得：，
，可判断ABC，由圆的切割线的性质可判断D，进而可得正确选项.
【详解】根据弦切角定理和圆周角定理可得：
，，
对于A：在和中，，，所以
，故选项A正确；
对于B：在和中，，，所以，故选项B正确；
对于C:在和中，，，，因为，所以，所以，故选项C正确；
对于D：因为所以，因为，
所以，所以，所以，
所以，故选项D正确；
故选：ABCD.
9.设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（）
A.32 B.56 C.72 D.84
【答案】B
【解析】
【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.
【详解】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中
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