第3节 函数的奇偶性与周期性--2025高中数学一轮复习课件基础版（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

第3节函数的奇偶性与周期性

1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.会运用函数图

象理解和研究函数的奇偶性.

课标解读

2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.会判断、应用

简单函数的周期性解决问题.

强基础固本增分

知识梳理

1.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数一般地,设函数f(x)的定义__________关于y轴对称

f(-x)f(x)

域为D,如果∀x∈D,都有

__________

奇函数-x∈D,且f(-x)-f(x)关于原点对称

此为奇偶函数定义域关于原点对称的原因

微思考存在既是奇函数又是偶函数的函数吗?唯一吗?

提示存在既是奇函数又是偶函数的函数,但不唯一.如果函数yf(x)是偶函

数,那么有f(x)f(-x),而它又是奇函数,那么f(x)-f(-x),因此必有f(x)-f(x),则

f(x)0,则既是奇函数又是偶函数的函数的函数值为零,但其解析式的形式

是不唯一的,例如函数等都既是

奇函数又是偶函数.

2.函数的周期性

(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使

f(x)

得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)__________,那么函数f(x)就叫做周

期函数.非零常数__________就叫做这个函数的周期.

T

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__________的

最小

正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

并非所有周期函数都有最小正周期

微点拨若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.

常用结论

1.关于函数奇偶性的常用结论

(1)如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义,那么一定有f(0)0;如果函数f(x)

是偶函数,那么f(-x)f(x)f(|x|).

(2)如果函数f(x)不是常数函数,当f(x)是奇函数时,它在两个对称的区间上具

有相同的单调性;当f(x)是偶函数时,它在两个对称的区间上具有相反的单

调性.

(3)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.

(4)如果f(x)g(x)+m(m为常数)且g(x)为奇函数,那么f(x)+f(-x)2m.

(5)如果奇函数f(x)存在最大值与最小值,那么它的最大值与最小值之和等

于零.

自主诊断

题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)

×

1.函数f(x)是偶函数.()

2.若f(x)是奇函数,则有f(0)0.()

×

3.若f(x)是奇函数,则y-f|(x)|为偶函数.()