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2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》

§2.2函数的单调性与最值

必威体育精装版考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何

意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的

任意两个自变量的值x1，x2

定义

当xx时，都有f(x)f(x)，那么就当xx时，都有f(x)f(x)，那么

12121212

说函数f(x)在区间D上是增函数就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

(3)对于任意的x∈I，都有

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

条件f(x)≥M；

(2)存在x∈I，使得f(x)＝M

00(4)存在x∈I，使得f(x)＝M

00

结论M为最大值M为最小值

概念方法微思考

1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？

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fx－fx

提示对∀x，x∈D，120⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似．

12

x－x

12

a

2．写出对勾函数y＝x＋(a0)的增区间．

x

aa

提示(－∞，－]和[，＋∞)．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)

(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)

1

(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)

x

(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函

数．(×)

(5)所有的单调函数都有最值．(×)

题组二教材改编

2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________．

答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))

2

3．函数y＝在上的最大值是______．

[2,3]

x－1

答案