计数原理讲义.docx

专题十二计数原理

12.1排列组合

一、两个原理.

1.加法原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法。

2.乘法原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有种mn不同的方法，那么完成这件事有N＝m1m2…mn种不同的方法。

3.两个原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”

二、排列.

1.⑴对排列定义的理解.

定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

⑵相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

⑶排列数.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.

⑷排列数公式：

注意：规定0!=1

规定

练习1．且,则乘积等于

A．B．C．D．

2、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）

（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个

【答案】选B．

三、组合.

1.⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

⑵组合数公式：

⑶两个公式：①②

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有.

⑷排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

⑸①几个常用组合数公式

②常用的证明组合等式方法例.

i.裂项求和法.如：（利用）

ii.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.

v.递推法（即用递推）如：.

vi.构造二项式.如：

证明：这里构造二项式其中的系数，左边为

，而右边

四、排列、组合综合.

一、【特殊元素、特殊位置】优先法

在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。

例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（）

A、240B、256C、264D、288E、320

解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，先安排末位共有；然后排首位共计有；最后排其他位置共计有；由分步计数原理得选D

练习1：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350）

二、【相邻问题】捆绑法

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例：五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）

A、60种B、48种C、36种D、24种E、72种

解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.

练习：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：240）

【相离问题】插空法

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例：七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）

A、1440种B、3600种C、4800种D、4820种E、4880种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.