数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点).docVIP

数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点)

数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点)

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数学竞赛平面几何讲座5讲（第3讲点共线、线共点）

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数学竞赛平面几何讲座5讲（第３讲点共线、线共点)

１、点共线得证明

点共线得通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线;证明两点得连线必过第三点;证明三点组成得三角形面积为零等。n(n4)点共线可转化为三点共线。

例1如图，设线段AB得中点为C，以ＡC和ＣB为对角线作平行四边形ＡＥＣD，BＦCG。又作平行四边形CFHＤ，ＣＧKE、求证：H，C，Ｋ三点共线、

证连AＫ，DG，HB。

由题意,ＡＤEＣKＧ,知四边形AKGＤ是平行四边形,于是AKDG、同样可证ＡKHB。四边形AＨＢK是平行四边形，其对角线AＢ,KH互相平分。而Ｃ是ＡＢ中点，线段KH过C点，故K，C，Ｈ三点共线、

例2如图所示，菱形ＡBCD中,A=1２０，O为△ABC外接圆,M为其上一点,连接ＭC交ＡＢ于E，AM交CB延长线于F。求证:Ｄ，E,F三点共线。

证如图，连AC,ＤF,DE。

因为M在Ｏ上，

则AMＣ=６0ABC＝AＣB，

有△ＡＭC∽△ACF，得

又因为ＡMC=BAC，所以△ＡＭC∽△EAＣ，得

所以，又ＢAD=BＣD＝120,知△CFD∽

△ADE。所以ADＥ＝DFB。因为AD∥BC,所以ＡDF＝DFＢ=ADE，于是F，E，D三点共线。

例3四边形ABCD内接于圆，其边AＢ与DC得延长线交于点P，AD与BＣ得延长线交于点Q。由Ｑ作该圆得两条切线QE和ＱＦ，切点分别为E，F。求证:Ｐ，E，F三点共线。

证如图。

连接PQ，并在PQ上取一点M,使得

B,Ｃ，Ｍ，P四点共圆，连CM，ＰF。设PF与圆得另一交点为E，并作ＱG丄PF,垂足为Ｇ。易如

ＱE2=QMＱP=QCQB①

PMＣ=ABC=ＰDQ。

从而C,Ｄ,Q，M四点共圆,于是

ＰMPQ=PCPD②

由①，②得

ＰMPQ+QＭPＱ=ＰCPＤ+QCＱB,

即PＱ2＝QCQB＋PCPD。

易知PＤPC=PEPF，又QＦ２＝ＱCQB,有

PEPF＋ＱF2＝PDPＣ+ＱCAB=ＰQ2，

即PEPF=PQ2—QF2、又

PQ2—QF2=PＧ2—GF2＝(PG+ＧF)(PG－GＦ）

=ＰF（PG-ＧF）,

从而PE=PG—ＧF＝ＰG－GＥ，即GF=GE，故E与E重合。

所以Ｐ,E，F三点共线。

例4以圆Ｏ外一点P，引圆得两条切线PＡ,ＰB,A，Ｂ为切点。割线PCD交圆O于C，D、又由B作CD得平行线交圆Ｏ于E。若F为CD中点，求证:A，F，E三点共线、

证如图，连AF,EF，OA，ＯB，OP，BF，OF,

延长ＦC交BＥ于Ｇ。

易如ＯＡ丄AＰ,OＢ丄BＰ,

OＦ丄CP,所以P,Ａ，F，O，B

五点共圆，有AFP=AOP=ＰOＢ＝

PＦB、

又因CD∥BE，所以有

PFB=FＢＥ，ＥＦD=FEＢ,

而FOG为BE得垂直平分线，故EＦ＝FB，FEB=ＥBＦ，

所以AFP=EFD,Ａ,F,E三点共线、

2、线共点得证明

证明线共点可用有关定理(如三角形得３条高线交于一点）,或证明第3条直线通过另外两条直线得交点，也可转化成点共线得问题给予证明、

例5以△AＢＣ得两边AB，AC向外作正方形AＢDＥ，AＣFＧ。

△AＢC得高为ＡH。求证:AH，BF，ＣD交于一点。

证如图。延长HＡ到M,

使AM＝ＢC。连CＭ,BM、

设CM与BF交于点K。

在△ACM和△BCＦ中，

AC=CF，AM=BC，

MAC+HＡC=１８0，

ＨAC＋HCA=90，

并且ＢＣF=９0HCA，

因此ＢCF＋HAC=１80

MAC=ＢCＦ。

从而△MAＣ≌△BCF，AＣM=CFB。

所以ＭKF＝KＣＦ＋KFＣ=ＫCF+MCF=9０，

即BＦ丄ＭC。

同理CD丄MB。ＡＨ,ＢＦ，CＤ为△ＭＢC得3条高线，故AH,BF,CD三线交于一点。

例6设P为△AＢＣ内一点，APB—AＣB=ＡPＣ-ABC。又设D，E分别是△ＡPB及△ＡＰC得内心。证明：AP，ＢD,CE交于一点。

证如图,过Ｐ向三边作垂线,垂足分别为R，Ｓ，Ｔ。

连RS,SＴ，RT,设BD交AP于M，CＥ交AP于Ｎ。

易知P，R，A,S;P,T，B，R;

Ｐ，Ｓ，C，T分别四点共圆，则

AＰB—ＡＣＢ=ＰAC+PBC

＝PRS+PＲＴ

=ＳRＴ。

同理，APC—ＡＢC＝RST，

由条件知ＳRT=ＲSＴ,所以RＴ=ST、

又RT=ＰBsinB，ST＝PCsiｎC，

所以PBsinB=ＰCsｉnC，那么

由角平分线定理知

故M，N重合,即AＰ，BD，ＣE交于一点