中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国）专题4一线三等角模型（原卷版）.pdf

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

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专题一线三等角模型

解题策略

在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一

条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．

1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时．

（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．

（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．

2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时．

如图，则有△ACP∽△BPD．

3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时．

如图，则有△ACP∽△BPD．

经典例题

【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本

图形．如图，已知：在△，∠=90°，=，直线经过点，⊥直线，⊥直线，垂

1lAll

足分别为点，．求证：=+．

DE

（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△

=∠=∠=∠=

中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请

问结论=+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过△边，

33AB

AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若=7，则

=______．

【例】．（全国八年级专题练习）在直线依次取互不重合的三个点,，在直线方有=，

22022··

且满足∠=∠=∠=

(1)如图1，当=90°时，猜想线段,,之间的数量关系是____________；

(2)如图2，当0180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说

明理由；

应用：如图，在△，∠是钝角，=，∠∠,∠=∠=∠，直线

(3)3

=3△△△

与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．

△∠=∠=30°∠=30°

【例3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，中，，且点为边的中点．将

∠点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点射线射线相交于点连结．

(1)如图1，当点在线段上时，

①求证：△∽△

②线段，之间存在怎样的数量关系？请说明理由；

(2)当△等腰三角形时，求的值．

培优训练

一、解答题

△∠=90°=⊥

1．（2022·全国·八年级课时练习）在中，，，直线经过点C，且于

D，⊥于E．

(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．

①请说明△≌△的理由；

②请说明=+的理由；

当直线绕点旋转到图的位置时，、、