选修2-1第二章空间向量与立体几何章末复习课.docxVIP

1．空间向量的运算及运算律

空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法那么与平行四边形法那么仍然成立．

2．两个向量的数量积的计算

向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．

3．空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间坐标系，然后再利用有关公式计算求解．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题．

4．空间向量的分解定理说明：用三个不共面的向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．

5．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解．

6．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出点的坐标，只有正确表示出点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法．

题型一空间向量及其运算

空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法那么、运算律与平面向量根本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的根底．

例1如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝0；②eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0；③eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0；④eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))；⑤eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SC,\s\up6(→))＝0，其中正确结论的序号是________．

答案③④

解析容易推出：eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝2·2·cos∠ASB，eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.

跟踪训练1如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，那么直线PQ与AM的夹角为()

A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)

C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)

答案D

解析以A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如下图的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，那么eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,1,2)，eq\o(QP,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，所以eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，所以QP与AM的夹角为eq\f(π,2).

题型二利用空间向量证明空间中的位置关系

向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下．

1．线线平行

证明两条直线平行