北京市第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案解析）.docx

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北京市第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，，，若，则（????）

A．5 B．4 C．1 D．

2．已知直线，．若，则实数（?????）

A．或 B．或 C．或 D．或

3．直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为（???）

A． B． C． D．

4．已知方程表示一个圆，则实数a的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

5．与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的方程是（???）

A． B．

C． D．

6．如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（????）

A．

B．

C．

D．

7．正方体中，、分别为、的中点，则（???）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

8．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上点的任意一点，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

9．在三棱锥中，平面，，，，则直线与平面所成角的大小为（???）

A．30° B．45° C．60° D．75°

10．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（???）

A．0 B．3 C．4 D．6

二、填空题

11．已知，，若，则实数的值为．

12．圆被直线截得的弦长为．

13．在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为.

14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为．

15．在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的．对于曲线，有下列四个结论：

①曲线是轴对称图形；

②曲线是中心对称图形；

③曲线所围成的区域内只有个整点（横、纵坐标均为整数的点）；

④点Px,y是曲线上的点，则．

其中正确结论的编号为．

三、解答题

16．已知圆C经过，，且圆心C在直线上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)求圆C经过点的切线方程．

17．椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点．

(1)写出椭圆C的焦点坐标和离心率；

(2)求的面积．

18．如图，平面，，，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

19．如图，六面体中，四边形为菱形，、、、都垂直于平面．若，．

(1)求证：；

(2)在棱（不含端点）上是否存在一点，使得三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

20．已知椭圆（）的长轴长为6，离心率．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过右焦点F作斜率为k（）的直线l，与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，求的值．

21．设n为大于等于2的正整数，n个实数构成的有序数组（）称为上的n维向量．n维向量通常用希腊字母，，等表示．

对于n维向量，，设，，定义内积=．

(1)已知，，，求，和；

(2)求证：四个二维向量中必有两个向量内积为非负数，五个三维向量中必有两个向量内积为非负数；

(3)若m个n（）维向量两两内积均为负数，求证：．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

D

D

A

A

B

B

C

B

1．A

【分析】由题意可以先求出，再由它们平行可以得到比例关系从而求出参数，由此即可得解.

【详解】因为，，，

所以，

因为，所以，解得，

所以.

故选：A.

2．C

【解析】利用两条直线斜率之积为求解.

【详解】若，则，解得或.

故选：C.

【点睛】若直线和直线，当直线时有，.

3．D

【分析】利用两角和的正切公式可求得直线的斜率.

【详解】设直线的倾斜角为，则，

将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，

则直线的倾斜角为，

因此，直线的斜率为，

故选：D.

4．D

【分析】利用方程表示圆的充要条件，列式求解即得.

【详解】方程表示一个圆，则，解得或，

所以实数a的取值范围为.

故选：D

5．A

【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，进而求出所求方程的椭圆长半轴长即可.

【详解】椭圆的焦点坐标为，

所求方程的椭圆长半轴长，

所以所求方程为.

故选：A

6．A

【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.

【详解】在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，

则.

故答案为