素能培优(十一) 数列中的增项、减项问题--2025高中数学一轮复习课件基础版（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

素能培优(十一)数列中的增项、减项问题

探究一增项问题

例1(2024·浙江金华模拟)已知数列{a}的前n项和为S,a3,且S2S+n+3.

nn1n+1n

*

数列{b}满足b1,b(1+)b(n∈N).

n1n+1n

(1)求数列{a},{b}的通项公式;

nn

(2)将数列{b}中的项按从小到大的顺序依次插入数列{a}中,在任意的

nn

a,a之间插入2k-1项,从而构成一个新数列{c},求数列{c}的前100项的

kk+1nn

和.

探究一探究二

解(1)S2S+n+3,当n≥2时,S2S+n+2,两式相减得a2a+1.

n+1nnn-1n+1n

又因为a+a2a+4,所以a72a+1,满足上式.

12121

所以a+12(a+1).又a+14,

n+1n1

所以{a+1}是以4为首项,2为公比的等比数列,

n

所以a+14·2n-1,即a2n+1-1.

nn

(2n-1)·bbb…b,所以b2n-1.

123n-1n

又b1符合上式,所以b2n-1.

1n

探究一探究二

(2)设100项中,来自数列{a}中的有m项.

n

若第100项来自{a},则应有m+2×1-1+2×2-1+…+2(m-1)-1100,

n

2

整理可得m-m-990,该方程没有正整数解,不满足题意;

若第100项来自{b},则应有m+2×1-1+2×2-1+…+2m-1≥100,

n

2

整理可得,m+m-100≥0.

2

当m9时,9+9-100-100,不满足,

2

当m10时,10+10-100100,故m10.

所以数列{c}中含有10项数列{a}中的项,含有90项数列{b}中的项.

nnn

所以c+c+…+ca+a+…+a+(b+b+…+b)

12100121012