2022-2023学年北京市北师大附中高二上学期期末考试数学试卷含详解.docx

2022-2023学年北京师大附中高二（上）期末数学试卷

一,选择题（每小题4分,共40分,每题均只有一个正确答案）

1．已知向量,且,那么（????）

A． B．9 C． D．18

2．已知为原点,点,以为直径的圆的方程为(????)

A． B．

C． D．

3．已知双曲线的渐近线方程为,则实数m的值为（????）

A． B．4 C． D．

4．若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,则该抛物线的准线方程为（????）

A． B． C． D．

5．已知直线l过点,且与直线垂直,则直线l的一般式方程为（????）

A． B． C． D．

6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖,在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）,把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合,这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1,则点A到平面的距离是（????）

A． B． C． D．

7．如图,在正方体中,E是棱CD上的动点．则下列结论不正确的是（????）

A．平面

B．

C．直线AE与所成角的范围为

D．二面角的大小为

8．设是首项为正数的等比数列,公比为q,则“”是“对任意正整数n,”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆有公共点,则的最小值是（????）

A． B． C． D．

10．已知曲线,点,下面有四个结论：

①曲线C关于x轴对称.

②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积不超过4.

③曲线C上任意点P满足.

④曲线C与曲线有5个不同的交点．

则其中所有正确结论的序号是（????）

A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③

二,填空题（每小题5分,共25分）

11．已知等比数列中,,则数列的前5项和．

12．已知圆,若直线与圆C相交得到的弦长为,则．

13．已知椭圆的两个焦点分别为,离心率为,点在椭圆上,若,则的面积为．

14．已知正方体的棱长为2,点M,N分别是棱,的中点,点P在平面内,点Q在线段上,若,则长度的最小值为.

??

15．角谷猜想又称冰雹猜想,是指任取一个正整数,如果它是奇数,就将它乘以3再加1,如果它是偶数,则将它除以2．反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈．如取正整数,根据上述运算法则得出,共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）,已知数列满足：（m为正整数）,①若,则使得至少需要步雹程,②若,则m所有可能取值的和为．

三,解答题（共6小题,共85分．解答时写出文字说明,演算步骤或证明过程）

16．已知公差不为零的等差数列的前项和为,若,且成等比数列．

（1）求数列的通项公式.

（2）若,求数列的前项和．

17．如图.在正方体中,E为的中点．

(1)求证：平面ACE.

(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

18．如图,在三棱柱中,平面,是边长为的正三角形,分别为的中点．

(1)求证：平面．

(2)求二面角的余弦值．

19．已知椭圆：的离心率为,且经过点.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)过点1,0作直线与椭圆相交与,两点,试问在轴上是否存在定点,使得两条不同直线,恰好关于轴对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

20．已知抛物线E：x2＝2py(p0)的焦点为F,A(2,y0)是E上一点,且|AF|＝2.

（1）求E的方程.

（2）设点B是E上异于点A的一点,直线AB与直线y＝x－3交于点P,过点P作x轴的垂线交E于点M,证明：直线BM过定点.

21．已知有限数列为单调递增数列．若存在等差数列,对于A中任意一项,都有,则称数列A是长为m的数列．

（1）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）：

①数列1,4,5,8,②数列2,4,8,16．

（2）若,证明：数列a,b,c为数列.

（3）设M是集合的子集,且至少有28个元素,证明：M中的元素可以构成一个长为4的数列．

1．D

【分析】,则,使得,据此计算即可.

【详解】依题意,由可知,,使得,于是,解得

于是.

故选：D.

2．A

【分析】求圆的圆心和半径,根据圆的标准方程即可求解﹒

【详解】由题知圆心为,半径.

∴圆的方程为﹒

故选：A﹒

3．B

【分析】利用双曲线方程得出,再利用渐近线定义得,解方程求出值.

【详解】已知方程表示的曲线为双曲线,所以.

该双曲线的渐近线为,又,得出

故选：B.

4．D

【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标,即可求出准线方程.

【详解】∵椭圆的右焦点坐标为.

∴抛物线的焦点坐标为.