矩阵的标准型.ppt

J1J2Js…Jordan形矩阵:若当块例如:100020003010001000210020003110020003但不是Jordan形矩阵.第32页,共59页，星期六，2024年，5月Jordan标准型定理5：设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得其中l1,…,ls是A的互不相同的特征值，而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。且第33页,共59页，星期六，2024年，5月?若A与Jordan形矩阵J相似,则称J为A的Jordan当标准形.注:J1OOJ2OEEOOEEO?1J2OOJ1=推论.两个复方阵相似?它们具有相同的Jordan标准形.推论.两个复方阵相似，特征值、秩？第34页,共59页，星期六，2024年，5月Jordan矩阵的结构与几个结论:Jordan块的个数k是线性无关特征向量的个数;矩阵可对角化,当且仅当s=n;(3)相应于一个已知特征值的Jordan块的个数是该特征值的几何重数,它是相应的特征子空间的维数,相应于一个的所有Jordan块的阶数之和是该特征值的代数重数.特征值的几何重数代数重数(4)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关.J的对角元素给出了特征值的信息。第35页,共59页，星期六，2024年，5月第36页,共59页，星期六，2024年，5月推论：则下列命题等价：(3)A的Jordan标准形中的Jordan块都是一阶的。第37页,共59页，星期六，2024年，5月推论：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。有个线性无关的特征向量。综合：第38页,共59页，星期六，2024年，5月?1,?2,…,?sA?11,…,?1q,1线性无关??11,…,?1q,?21,…,?2q,…,?s1,…,?sq线性无关12s2线性无关?21,…,?2q,…,s线性无关?s1,…,?sq相似矩阵P的求法第39页,共59页，星期六，2024年，5月定理5：l1,…,ls是n阶复矩阵A的互不相同的特征值，且(1)则必存在可逆矩阵S，使得则下面是等价的第40页,共59页，星期六，2024年，5月则V上必然存在一个线性变换T，使得亦即中必然存在一组基(个)，使得T在这组基下的矩阵为第41页,共59页，星期六，2024年，5月?1,?2,…,?sA?11,…,?1q,1线性无关??11,…,?1q,?21,…,?2q,…,?s1,…,?sq线性无关12s2线性无关?21,…,?2q,…,s线性无关?s1,…,?sq相似矩阵S的求法第42页,共59页，星期六，2024年，5月五.Jordan标准型与最小多项式的关系设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得其中l1,…,ls是A的互不相同的特征值，且则A的最小多项式为：第43页,共59页，星期六，2024年，5月第44页,共59页，星期六，2024年，5月六.Jordan标准型的确定Jordan标准型的两个关键要素：Jordan块的阶数与块数波尔曼定理:Jordan标准型唯一性原理第45页,共59页，星期六，2024年，5月例P82例2.3.6,2.3.7第46页,共59页，星期六，2024年，5月例已知矩阵A的特征多项式为求矩阵A的Jordan标准形第47页,共59页，星期六，2024年，5月七、方阵A的Jordan标准形的求法求可逆矩阵S和Jordan矩阵JA，使AS=SJA分析方法：在定理5的基础上逆向分析矩阵JA和S的构成。求法与步骤：矩阵A和JA的特征值相等细分矩阵Pi和Ji，在Jordan块上，有Jordan块的确定按照波尔曼定理第48页,共59页，星期六，2024年，5月Jorda