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汕尾市重点中学2024年新高三下开学适应性考试数学试题试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（）
A． B．3 C． D．2
2．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）
A． B．
C． D．
3．设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知复数满足，且，则（）
A．3 B． C． D．
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
6．已知，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入
A． B．
C． D．
7．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是()
A．1 B．2 C． D．
8．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（）.
A． B． C． D．
9．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（）
A． B．3 C． D．
10．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（）
A． B． C． D．
11．在直角中，，，，若，则（）
A． B． C． D．
12．已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__．
14．若实数满足约束条件，设的最大值与最小值分别为，则_____．
15．设随机变量服从正态分布,若，则的值是______．
16．已知数列与均为等差数列（），且，则______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求，；
（2）当时，，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数，
（1）若，求的单调区间和极值；
（2）设，且有两个极值点，，若，求的最小值.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.
（1）证明:平面
（2）若，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知，，设函数，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为1，证明：.
21．（12分）已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。
22．（10分）已知函数.
（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；
（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率.
【详解】
设，直线的方程为.
联立整理得，
则.
因为，所以为线段的中点，所以，，整理得，
故该双曲线的离心率.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
2、C
【解析】
恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.
【详解】
由题意知函数的定义域为，
.
因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.
令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.
故选：C
【点睛
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