第5节 第3课时　利用导数研究函数的零点--2025高中数学一轮复习课件基础版（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

第5节函数与导数中的综合问题

第3课时利用导数研究函数的零点

考点一确定函数零点的个数(多考向探究预测)

考向1利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数

2x

例1(2023·浙江杭州模拟)设函数f(x)(x-1)e-ax,若曲线f(x)在x0处的切线

方程为y-2x+b.

(1)求实数a,b的值;

(2)判断函数f(x)零点的个数.

考点一考点二考点三

考点一考点二考点三

规律方法

利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数

(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;

(2)在每个单调区间上,利用函数零点存在定理判断零点的个数;

(3)注意区间端点的选取技巧;

(4)含参数时注意分类讨论.

考点一考点二考点三

x2

[对点训练1](2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)e+(a-e)x,其中a∈R.

2

(1)若ae-2,求函数f(x)在[0,2]上的最值;

2

(2)当a0时,证明:F(x)f(x)-ax在(0,2)内存在唯一零点.

考点一考点二考点三

2xx

(1)解当ae-2时,f(x)e-2x,所以f(x)e-2.

令f(x)0,得xln2,令f(x)0,得xln2,

所以f(x)在[0,ln2)内单调递减,在(ln2,2]上单调递增,

2

又因为f(0)1,f(ln2)2-2ln2,f(2)e-41,

2

所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln2,最大值为e-4.

考点一考点二考点三

考点一考点二考点三

考向2数形结合确定零点个数

例2(2024·江西赣州模拟)已知函数

(1)求函数f(x)的最值;

x

(2)讨论函数g(x)ae-lnx-1的零点个数.

考点一考点二考点三

考点一考点二考点三

考点一考点二考点三

规律方法

数形结合确定函数零点个数的方法

函数零点个数即函数图象与x轴交点的个数,因此借助数形结合思想,可