中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国）专题7弦图与垂直模型（解析版）.pdf

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

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专题弦图与垂直模型

解题策略

模型1：垂直模型

如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.，结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂

直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是

我们经常会见到的两种弦图.

三垂直图形变形如图③、图④，这也是由弦图演变而来的.

模型2：弦图模型

经典例题

【例1】．（2021·全国·八年级专题练习）如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段

AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．

（）求证：＝；

1PEPB

（）如图，若正方形的边长为，过点作⊥于点，在点运动的过程中，的长度是

22ABCD2EEFACFPPF

否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；

（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．

【答案】（）见解析；（）在点运动的过程中，的长度不发生变化．的长为定值；

12PPFPF2

（）．理由见解析．

3=+2

【分析】（1）做辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明△≅△可求解．

（2）如图，连接OB，通过证明△≅△得到PFOB，则PF为定值是．

2

（）根据△和△是等腰直角三角形，得，，整理可得结论．

3AMPPCN=2=2

【详解】（）证明：如图，过点作∥，交于点，交于点．

1①PMNADABMCDN

∵⊥，

PBPE

∴∠＝°，

BPE90

∴∠MPB+∠EPN＝90°．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠＝∠＝°．

BADD90

∵∥，

ADMN

∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90，

∵∠MPB+∠MBP＝90°，

∴∠＝∠．

EPNMBP

在△中，∠＝°，

RtPNCPCN45

∴△PNC是等腰直角三角形，

∴PN＝CN，

∴BM＝CN＝PN，

∴△≌△（），

BMPPNEASA

∴＝．

PBPE

（2）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．

理由：如图，连接．

2OB

∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，

∴OB⊥AC，

∴∠＝°，

AOB90

∴∠＝∠＝°，

AOBEFP90

∴∠OBP+∠BPO＝90°．

∴∠BPE＝90°，

∴∠∠＝°，

BPO+OPE90

∴∠＝∠．

OBPOPE

由（1）得PB＝PE，

∴△OBP≌△FPE（AAS），

∴＝．

PFOB

2

∵＝，△是等腰直角三角形，∴=