高三数学：浙江镇海2024届高三上学期期末数学试题（原卷板+解析版）.docx

镇海中学2023学年第一学期期末考试

高三数学试题

说明：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．

考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1，，则（）

A. B.

C. D.

2.函数的零点所在区间为（）

A. B. C. D.

3.设函数（，），则函数的单调性（）

A.与有关，且与有关 B.与无关，且与有关

C.与有关，且与无关 D.与无关，且与无关

4.已知等差数列，则是成立的（）条件

A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要

5.已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（）

A. B.

C.若，则 D.

6.已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（）

A.2 B. C.2或 D.3或

7.函数在上的图象大致为（）

A. B.

C. D.

8.设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（）

A.12 B.24 C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数，，则下列结论正确的有（）

A. B. C. D.

10.已知，的定义域为R，且（），，若为奇函数，则（）

A.关于对称 B.为奇函数

C. D.为偶函数

11.已知为坐标原点，曲线：，，为曲线上动点，则（）

A.曲线关于y轴对称 B.曲线的图象具有3条对称轴

C. D.的最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在中，角的对边分别为，已知．则角______.

13.镇海中学举办大观红楼知识竞赛，该比赛为擂台赛，挑战者向守擂者提出挑战，两人轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，每次答题互相独立，则挑战者最终获胜的概率为______.

14.在四面体中，，若，则四面体体积最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在中，内角的对边分别为，向量，且．

（1）求；

（2）若的外接圆半径为2，且，求的面积．

16.已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足．

（1）求数列通项公式；

（2）若数列为递增数列，求实数k的取值范围；

17.某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X，Y（元）．

（1）求X，Y的分布列；

（2）求；

（3）若，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据：．）

18.已知椭圆C：（，）左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为（）的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直．

①若，求三棱锥的体积，

②若，异面直线和所成角的余弦值；

③是否存在（），使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

19.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）

（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

（2）求椭圆在处曲率；

（3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范

答案解析

镇海中学2023学年