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考研数学证明题答题详解

考研数学证明题答题详解

考生们在准备考研数学的复习时，需要把证明题的答题方法掌握

好。店铺为大家精心准备了考研数学证明题答题秘诀，欢迎大家前来

阅读。

考研数学证明题答题技巧

证明题可以分三步走：

第一步：结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、

极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。了解基本原理是

证明的基础，了解的程度不同会导致不同的推理能力。如2006年数学

一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存

在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值

也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结

论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在

的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问

题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界

性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是

很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助几何意义寻求证明思路。一个证明题，大多时候是

能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目中

文字的含义。如2007年数学一第19题是一个中值定理的证明题，可

以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发

现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函

数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同

一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数有三个零点，两次应

用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是

关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出

函数及在上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结

论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处

大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的`，零点存

在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无

法完满解决问题的话，转第三步。

第三步：逆推。从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是

不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：

即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的

单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导

的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多(这里所举出

的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的

单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的

结果。

对于那些经常使用如上方法的来说，利用三步走就能轻松收获数

学证明的分数，但对于从心理上就不自信能解决证明题的同学来说，

却常常轻易丢失，后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心，

以防止分数的白白流失。

考研数学复习高数必考题型

1.求极限

无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，

所以也是每年必考的内容。区别在于有时以4分小题形式出现，题目

简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。比如大题可能需要

用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因式、重要极

限等几种方法，有时考生需要选择多种方法综合完成题目。另外，分

段函数在个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函

数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起

注意!

2.利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式

证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。

等式的证明包括使用4个常见的微分中值定理(即罗尔中值定理、拉格

朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理)，1个定积分中值定理;

不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。这里泰

勒中值定理的使用时的一个难点，但考查的概率不大。

3.一元函数求导数，多元函数求偏导数

求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关

系的处理能力。一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导

或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的

偏导数基本上每年都会考查，给出的函数可能是较为复杂的显函数，

也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。

另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密，是

一个考查重点。极