数学学案：例题与探究正弦定理和余弦定理.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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典题精讲

例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,若b=acosC，c=asinB，试判断△ABC的形状.

思路分析：本题已知条件中既涉及边又涉及角，所以容易想到借助于正、余弦定理将边角互化，从而将问题解决.

解：由b=acosC，得b=a·，即2b2=a2+b2—c2。

∴b2+c2=a2。∴A=90°.∴c=asinB=a·=b.故△ABC为等腰直角三角形.

绿色通道:判断三角形的形状，常常有两种方式，一是从边的角度加以判断，从而可以考虑将已知条件转化为边间的关系；二是从角的角度去判断，从而可以考虑将已知条件转化为角间的关系。

变式训练（经典回放）在△ABC中,若acosA=bcosB,求证:△ABC是等腰三角形或直角三角形。

思路分析：判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定，本题可考虑把边化为角，寻找三角形的角之间的关系，然后予以判定.在正弦定理的推广中,a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC是边化角的主要工具.

证明:由正弦定理,得。

又acosA=bcosB，即,

即sinAcosA=sinBcosB。∴sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A=π—2B。∴A=B或A+B=.

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

例2（2006天津高考，理17)如图1—1-1,在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=。

图1-1—1

(1）求AB的值;

(2)求sin（2A+C）的值。

思路分析:已知两边及其夹角，求第三边，要用余弦定理；求三角函数的值,需求sinA及sinC的值，就要用正弦定理.

解：（1)由余弦定理，有AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=4+1—2×2×1×=2，

所以AB=。

（2）由cosC=且0＜C＜π，得sinC=.

由正弦定理,得sinA=.

所以cosA=.

由倍角公式sin2A=2sinA·cosA=，

且cos2A=1—2sin2A=，故sin(2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC=。

绿色通道:正弦、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角变换，同时注意三角形中的一些重要性质(内角和，大边对大角,射影定理等).

变式训练（2005天津高考，理17)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2—bc=a2和。求∠A和tanB的值.

思路分析：b2+c2—bc=a2的结构与余弦定理相类似,用正弦定理把边的关系转化为角的问题.

解：cosA=,所以∠A=60°.

由∠C=180°-∠A—∠B=120°—∠B，

得。

所以tanB=。

例3如图1—1—2，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设∠MGA=α（≤α≤)。

图1—1-2

(1）试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为α的函数.

(2）求y=的最大值与最小值。

思路分析：(1）求表示三角形面积的函数，需解决边长问题,在△AGM及△AGN中，关键是用正弦定理求MG、GN的长度.

（2)将(1)所给的函数化简变形，尽量化成最简形式，再根据表达式特点求最值.

解：(1）因为G是边长为1的正△ABC的中心,

所以GA=×，∠MAG=。

由正弦定理，得GM=。

则S1=GM·GA·sinα=.

同理，可得S2=。

(2）y=[sin2（α+）+sin2（α—)］=72(3+cot2α).

因为≤α≤，所以当α=或α=时，y取得最大值ymax=240.

当α=时，y取得最小值ymin=216.

绿色通道:在知识的交汇点处出题是高考的一个特点。解三角形问题要注重正余弦定理、三角形的性质、三角变换、函数思想的综合应用。

黑色陷阱：（1)错误之一是不能正确列出面积表达式.要养成结合图形及基础知识，分析已知条件和所求结论之间的联系的习惯。

（2）另一错误是三角公式不能灵活应用，三角变换不熟练，化简与变形存在问题，要熟记基本公式及常见的三角函数恒等变形。

变式训练在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若b2=ac，求y=的取值范围.

思路分析：将所给的解析式化简，实现角函数名称、运算的统一,化简为y=sinB+cosB，同时要注意函数的要素-—定义域,由b2=ac,结合不等式、正余弦定理求出角B的范围.

解:cosB=,

∴0＜B＜。

又y==sinB+cosB=sin（B+）.

由0＜B＜，得＜B+≤。

∴＜sin（B+)≤1.

∴1＜y≤2.

例4已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=