上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）.docxVIP

七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

一、填空题

（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1．函数的定义域为______．

2．计算______．

3．已知是1与9的等比中项，则正实数______．

4．在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．

5．在复平面内，复数对应的点位于第______象限。

6．已知，则______．

7．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．

8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．

9．已知函数．在中，，且，则______．

10．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．

11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．

12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）

A． B．

C． D．

14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）

A．不存在，使得的倾斜角为 B．对任意的与都不垂直

C．存在，使得与重合 D．对任意的与都有公共点

15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

16．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（）

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①②都是真命题 D．①②都是假命题

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17．如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．

（1）求证：；

（2）若异面直线与所成角为，求的值．

18．已知点是坐标原点．

（1）若，求的值：

（2）若实数满足，求的最大值．

19．英语学习中学生喜爱用背单词神器提升自己的英文水平，为了解上海中学生和大学生对背单词“神器”的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：

百词斩

扇贝单词

秒词邦

沪江开心词场

中学生

80

60

40

20

大学生

30

20

20

10

假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．

（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；

（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为的方差为．写出的大小关系．（结论不要求证明）

20．在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．

（1）求该粗圆的离心率；

（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；

（3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．

21．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线．

（1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；

（2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．

（3）对于任意的正实数，函数是否都存在双夹线？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．

2025届七宝中学高三（上）期中考试参考答案

一、填空题

1、；2、；3、3；4．18；5、四；6．；7、；8、a；9、；

10、4；11、1；12、

10、【答案】4

12、【答案】

二、选择题

13～16、BDBC

三、解答题

17、（1）证明：如图，连接．

由已知可得，平面平面，所以，

又是正方形，所以，

又平面平面，

所以平面，

又动点在对角线上，所以平面，所以平面，

所以．

（2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，

设，则，

则．

由已知，可得，设点，则，

所以，所以，

即，所以，

．

又异面直线与所成角为，所以，

即，

解得或0，因为，所以满足条件．

18、【答