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2024届高考数学专项齐次化妙解圆锥
曲线
齐次化妙解圆锥曲线
题型1定点在原点的斜率问题
题型2定点在原点转化成斜率问题
题型3定点不在原点之齐次化基础运用
题型4定点不在原点的斜率问题
题型5定点不在原点转化为斜率问题
题型6定点不在原点之二级结论第三定义的使用
题型7齐次化妙解之等角问题
题型8点乘双根法的基础运用
题型9点乘双根法在解答题中的运用
题型1定点在原点的斜率问题
圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以
往我们的常用解法是设直线y=kx+b，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式
子通分后，将x+x和x⋅x代入，得到关于k、b的式子．解法不难，计算量较为复杂．
1212
如果采用齐次化解决，直接得到关于k的方程，会使题目计算量大大减少．
“齐次”即次数相等的意思，例如fx=ax2+bxy+cy2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为fx中每
一项都是关于x、y的二次项．
如果公共点在原点，不需要平移．
1直线mx+ny=1与抛物线y2=4x交于Ax , y , Bx , y，求k+k , k⋅k．(用m , n表
1122OAOBOAOB
示)
1
x2y2
1直线mx+ny=1与椭圆+=1交于Ax , y , Bx , y，求k⋅k(用m , n表示)．
431122OAOB
2抛物线y2=4x，直线l交抛物线于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
x2y2
3不过原点的动直线交椭圆+=1于A、B两点，直线OA、AB、OB的斜率成等比数列，求证：
43
直线l的斜率为定值．
2
x2
2
4已知直线y=kx+4交椭圆+y=1于A，B两点，O为坐标原点，若k+k=2，求该直线方
4OAOB
程．
x2y2
5设Q，Q为椭圆+=1上两个动点，且OQ⊥OQ，过原点O作直线QQ的垂线OD，求D
122b2b21212
的轨迹方程．
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