离散数学大作业-图的邻接矩阵的特征值.docx

《离散数学》报告

题目：图的邻接矩阵的特征值

序号：12

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2024年11月26日

图的邻接矩阵的特征值

摘要：图的邻接矩阵作为离散数学中的重要研究对象，其特征值在图的性质分析和应用中具有重要意义。本论文主要探讨图的邻接矩阵特征值的计算方法及其在图论中的应用，包括图的连通性、谱半径与图结构特征的关系，为进一步研究图的谱理论提供基础。

关键词：图论；邻接矩阵；特征值；谱半径

1.基本知识查询

1.1可约矩阵，一个n×n的非零方阵A，如果存在一个置换矩阵P，使得通过相似变换PAPT可以将A化为块上三角形式：PAPT=BC0

如果邻接矩阵A是可约矩阵，则图G是非强连通图，即存在至少一个顶点子集S，使得从S的顶点无法到达G中的其他顶点。

如果邻接矩阵A是不可约矩阵，则图G是强连通图，即对于图中的任意两个顶点u和v，都存在一条从u到v的路径。

1.2谱半径的存在性与特性

设A是一个非负矩阵，其谱半径（即最大模的特征值）记为ρ(A：矩阵A至少有一个实数特征值等于ρ(A)，称为Perron特征值。与谱半径对应的特征向量可以取为非负向量。

几何重数与代数重数的关系，与谱半径ρ(A)对应的特征值的几何重数为1，即对应的特征向量在向量空间中是唯一的（线性无关的个数为1）。ρ(A的代数重数可以大于1，但几何重数小于代数重数。

2.习题

2.1对于任意特征值λ，有ρA

具体到邻接矩阵A(G)$有以下结论：

A(G)是非负矩阵，因为它的元素是非负的。

ρA是A(G)

3.根据ρA是A(G)

因此，ρA是A(G)

(2.2)

邻接矩阵A(G)和A(G+uv)的区别在于，A(G+uv)在位置(u,v)和(v,u)上的元素为1，而其他元素不变。

由于G是简单连通图，添加一条边不会形成环，因此G+uv仍然是连通的。

根据Puv不会增加A(G)的谱半径，但会使得A(G+uv)的某些特征值发生变化。

由于uv的添加使得G+uv更加“连通”，可能会增加一些特征值，但不会影响最大特征值。因此，pA(G)作为A(G)的最大特征值，必然小于或等于A(G+uv)的最大特征值，即：

ρ

2.3对于完全图K_n，其邻接矩阵的特征值为n-1重根）和0（n-1重根）。

对于完全图Kn，其邻接矩阵A可以表示为：

A=011?1101?1110?1?????111?0，

2.4

(a)引理ρA(Hs,t)ρA(Hs+t,0)的证明依赖于图的最大特征值的理论。由于Hs,t在w处增加了两个长分别为s和t的通路，这会导致Hs,t的最大特征值大于Hs+t,0的最大特征值。

(b)对于7阶树T，可以通过反复删除度数为1的顶点，直到剩下的图为基本通路。

找到度数为1的顶点，删除它及其相连的边。重复上述步骤，直到剩下的图没有度数为1的顶点。剩下的图即为基本通路。

(c)每次删除一个度数为1的顶点及其相连的边，得到一个新的树。由于树的性质，每次删除后剩下的图仍然是一个树，且度数为1的顶点逐渐减少，最终剩下的图为基本通路。

2.5证明ρ

设Pn是n阶路径图，其邻接矩阵的秩ρA(Pn)为n-1，因为Pn是一个树形图，且其最大独立集包含n-1个顶点对于任意n阶简单连通图G，其邻接矩阵0的秩ρA(

证明ρ

对于任意n阶简单连通图G，其邻接矩阵。的秩PA(G)不可能超过n-1，因为最多只有n-1个线性独立的行或列。这可以通过矩阵的秩的定义和简单连通图的O结构来证明。因此成立。

证明ρA

如果G≌Pn，则G和Pn的邻接矩阵相似，因此它们的秩相等，即ρA(G)=ρA(Pn)。反之，如果ρA(G)=ρA(Pn

证明ρA

如果G≌Kn，则G是一个完全图，其邻接矩阵的秩为n-1，因为完全图的最大独立集包含n-1个顶点。反之，如果ρA(G)=n-1，则G的邻接矩阵的秩与完全图Kn的邻接矩阵的秩相同，意味着G的结构也与K,类似，即G

因此，证明完毕。

3.习题

3.1含特征值区域的圆盘定理（也叫圆盘定理）是谱理论中的一个重要定理，用于描述矩阵的特征值分布情况。它给出了矩阵特征值的区域结构，即描述一个矩阵的特征值如何在复平面内分布。特别地，它与矩阵的谱半径、行列式以及某些矩阵函数的计算紧密相关。设A是一个n×n矩阵，σ(A)表示矩阵AA的谱，则包含特征值区域的圆盘定理的主要内容为：

对于任意矩阵A，其特征值λ1,λ2,…,λn满足以下关系：

σ(A)?

3.2设PA(G)是图G的最大独立集的大小。