素能培优(十六) 求曲线轨迹方程的方法--2025高中数学一轮复习课件基础版（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

素能培优(十六)求曲线轨迹方程的方法

曲线C与方程F(x,y)0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程

F(x,y)0的解;(2)以方程F(x,y)0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C

为方程F(x,y)0的曲线,方程F(x,y)0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方

法主要有:

(1)直接法:直接将几何条件或等量关系表示为代数方程;

(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线

方程;

(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已

知曲线上运动,设为(x,y),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求

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表示已知,即将(x,y)代入已知曲线即得所求曲线方程.

00

一、直接法求轨迹方程

例1曲线C上任意一点P到点F(2,0)的距离与它到直线x4的距离之比等于

,则C的方程为____________________.

考点一考点二

考点一考点二

考点一考点二

二、定义法求轨迹方程

2222

例2(2024·河北石家庄模拟)已知圆M与圆C:(x+5)+y25和圆C:(x-5)+y

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9一个内切一个外切,则点M的轨迹方程为____________________.

解析设圆M的半径为rM,

则当圆M与圆C内切,与圆C外切时,|MC|r-5,|MC|r+3;

121M2M

当圆M与圆C外切,与圆C内切时,|MC|r+5,|MC|r-3.

121M2M

所以||MC|-|MC||8|CC|10,点M的轨迹为双曲线,

2112

考点一考点二

规律方法

若某动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可以利用学过的圆、椭圆、

双曲线、抛物线等曲线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法

叫做定义法.利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、

双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.

考点一考点二

[对点训练2]若点P到直线y-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨

2

迹方程是__________.

x12y

解析∵点P到直线y-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,

∴点P到直线y-3的距离与它到点(0,3)的距离相等.

∴点P的轨迹是以(0,3)为焦点、直线l:y