素能培优(二) 恒成立与能成立问题--2025高中数学一轮复习课件基础版（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

素能培优(二)恒成立与能成立问题

恒成立与能成立(存在性)问题,是不等式中常遇到的两类基本问题,解决这

两类问题,最终都要转化为最值问题加以解决,具体转化方法如下:

1.单个变量的恒成立问题

①∀x∈D,f(x)a恒成立,则f(x)maxa;

②∀x∈D,f(x)a恒成立,则f(x)mina;

③∀x∈D,f(x)g(x)恒成立,则F(x)f(x)-g(x)0,所以F(x)max0;

④∀x∈D,f(x)g(x)恒成立,则F(x)f(x)-g(x)0,所以F(x)min0.

2.单个变量的能成立(存在性)问题

①∃x∈D,使得f(x)a成立,则f(x)mina;

②∃x∈D,使得f(x)a成立,则f(x)maxa;

③∃x∈D,使得f(x)g(x)恒成立,则F(x)f(x)-g(x)0,所以F(x)min0;

④∃x∈D,使得f(x)g(x)恒成立,则F(x)f(x)-g(x)0,所以F(x)max0.

3.双变量的存在性与任意性问题

①∀x∈D,∃x∈E,使得f(x)g(x)恒成立,则f(x)g(x);

1212maxmax

②∀x∈D,∃x∈E,使得f(x)g(x)恒成立,则f(x)g(x);

1212minmin

③∀x∈D,∀x∈E,f(x)g(x)恒成立,则f(x)g(x);

1212maxmin

④∃x∈D,∃x∈E,使得f(x)g(x)恒成立,则f(x)g(x).

1212minmax

在具体求解过程中,有些问题可以直接求函数的最值,有些问题则需要分离

变量后再构造函数求最值,还有的需要更换主元后构造函数求最值,以下举

例说明:

命题点1直接最值法

在解决形如f(x)≥a(a)或f(x)≤a(a)等不等式的恒成立与能成立问题时,可

以直接求出函数f(x)的最值,根据该最值与a的大小关系即得实数a的取值

范围.若函数f(x)中本身也含有参数a,往往需要对a分类讨论求得最值,再根

据最值与a的大小关系建立关于a的不等式求得实数a的取值范围.

命题点1命题点2命题点3命题点4

(1,2]

命题点1命题点2命题点3命题点4

命题点1命题点2命题点3命题点4

22

[对点训练1](2024·山东聊城模拟)不等式x-2x+5a对x∈(1,+∞)恒成立,则

A

实数a的取值范围是()

A.[-2,2]B.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

2

解析令f(x)x-2x+5,则函数f(x)图象的对称轴为直线x1,

222

则当x1时,x-2x+51-2+54,因此a≤4,解得-2≤a≤2,故选A.

命题点1命题点2命题点3