第6节 第1课时　线线角与线面角--2025高中数学一轮复习课件基础版（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

第6节空间角与距离的计算

1.理解直线的方向向量与平面的法向量.

2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面

的夹角.

课标解读

3.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、

相互平行的平面间的距离问题和夹角问题.体会向量方法在

研究几何问题中的作用.

强基础固本增分

知识梳理

1.直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l

上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,

使得

把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.

(2)平面的法向量:直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法

向量.

(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.

2.利用空间向量求角

(1)异面直线所成的角

两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求

得.也就是说,若异面直线l,l所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则

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异面直线所成角只能是锐角或直角,所以加“绝对值”

(2)直线与平面所成的角

直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.

如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的

方向向量为u,平面α的法向量为n,则

线面角与两个向量所成的锐角是互余的关系

(3)平面与平面的夹角

平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的

二面角称为平面α与平面β的夹角.

若平面α,β的法向量分别是n和n,则平面α与平面β的夹角即为向量n和n

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的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则

误区警示利用公式求二面角的平面角时,要注意n,n与二面角大小的关

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系是相等还是互补,需要结合图形进行判断.

常用结论

最小角定理:cos

θcos

θcos

θ.

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如图,若OA为平面α的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面α内的射影,OC为

平面α内的一条直线,其中θ为直线OA与OC所成的角,θ为直线OA与OB所

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成的角,即线面角,θ为直线OB与OC所成的角,那么cos

θcos

θcos

θ.

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自主诊断

题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)

1.设a,b是异面直线l,l的方向向量,则直线l与l所成的角就是向量a,b的夹

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角.()

×

2.设a是直线l的方向向量,b是平面α的法向量,则直线l与平面α所成的角就

是向量a,b的夹角.()

×

3.设a,b是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于向量a,b

的夹角的大小.()

×

√

题组二回源教材

5.(人教A版选择性必修第一册1.4.2节练习2(1)(2)改编)如图,在棱长为1的正

方体ABCD-ABCD中,E为线段DD的中点,F为线段BB的中点.则

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