矩阵的特征值和特征向量.ppt

关于矩阵的特征值和特征向量**5.1.1特征值和特征向量的基本概念

定义设A为数域F上的n阶矩阵,如果存在数l?F和非零的n维列向量X,使得

AX=lX

就称l是矩阵A的特征值,X是A的属于(或对应于)特征值l的特征向量.

注意:特征向量X?0;特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵.第2页,共22页，星期六，2024年，5月** AX=lX 根据定义,n阶矩阵A的特征值,就是齐次线性方程组(lI-A)X=0有非零解的l值.即满足方程 det(lI-A)=0即 的l都是矩阵A的特征值.因此,特征值是l的多项式det(lI-A)的根.第3页,共22页，星期六，2024年，5月** AX=lX,

det(lI-A)=0 (5.2)

定义设n阶矩阵A=(aij),则称为矩阵A的特征多项式,lI-A称为A的特征矩阵,(5.2)式称为A的特征方程.第4页,共22页，星期六，2024年，5月**显然,n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式.特征多项式的k重根也称为k重特征值.当n?5时,特征多项式没有一般的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根,所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2,-2进行尝试先得到一个根,则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解.第5页,共22页，星期六，2024年，5月**例解验证：是否为A的特征向量第6页,共22页，星期六，2024年，5月**注1注2注3如果是A对应于特征值的特征向量，则也是A对应于特征值的特征向量。第7页,共22页，星期六，2024年，5月**注5矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的注4如果是A对应于特征值的线性无关特征向量，则也是A对应于特征值的特征向量。第8页,共22页，星期六，2024年，5月**例求下列矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为即对应的特征向量可取为第9页,共22页，星期六，2024年，5月**对应的特征向量可取为A属于的全部特征向量：A属于的全部特征向量：第10页,共22页，星期六，2024年，5月**例求矩阵的特征值和特征向量.解矩阵A的特征多项式为A的特征值为l1=2,l2，3=1(二重特征值).第11页,共22页，星期六，2024年，5月**当l1=2时,由(l1I-A)X=0,即得其基础解系为X1=(0,0,1)T,因此k1X1(k1?0为常数)是A的对应于l1=2的特征向量.第12页,共22页，星期六，2024年，5月**当l2=1时,由(l2I-A)X=0,即得其基础解系为X2=(1,2,-1)T,因此k2X2(k2?0为常数)是A的对应于l2=1的特征向量.第13页,共22页，星期六，2024年，5月**例求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为第14页,共22页，星期六，2024年，5月**得基础解系得基础解系第15页,共22页，星期六，2024年，5月**例主对角元为a11,a22,...,ann的对角阵A或上(下)三角阵B的特征多项式是

|lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22)...(l-ann),

故A,B的n个特征值就是n个主对角元.第16页,共22页，星期六，2024年，5月**2、n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为l1,l2,...,ln.则5.1.2特征值和特征向量的性质1、设n阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特征值均不为0.第17页,共22页，星期六，2024年，5月**矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:

3、若l是矩阵A的特征值,X是A属于l的特征向量,则

(i)kl+a是kA+aI的特征值(k,a是任意常数),

(