中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国）专题8将军饮马模型（解析版）.pdf

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

8

专题将军饮马模型

解题策略

模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．

连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB.

模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．

作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB

模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最大．

连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，PAPB的最大值为AB

模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最大．

作点B关于直线I的对称点B，连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．PAPB的最大值

为AB

模型8：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最小．

连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．PAPB的最小值为0

模型6：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．

分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD

周长的最小值为P′P″

模型7：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．

作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C

经典例题

【例1】（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三

角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，

在中，，∠，垂直平分，且交于点，连接．

△ABCABAC1BAC108°DEABBCDAD

证明直线是的自相似分割线；

(1)AD△ABC

如图，点为直线上一点，当点运动到什么位置时，的值最小？求此时的长度．

(2)2PDEPPA+PCPA+PC

如图，射线平分∠，点为射线上一点，当5−1取最小值时，求∠的正弦值．

(3)3CFACBQCF+QAC

4

【答案】直线是△的自相似分割线；

(1)ADABC

(2)当点动到时，PA+PC的值最小，此时+=5+1；

2

∠的正弦值为5+1

(3)QAC

4

【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；

+=+≥+=+=

（2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,

此时+最小，设=则=+1

根据△∽△列出方程，解方程求解即可求得进而即可求得长，即+最小值；

⊥⊥