中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国）专题5倍长中线模型（解析版）.pdf

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

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专题倍长中线模型

解题策略

如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．

如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的

线段进行转移．

经典例题

【例1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出

△+2

（1）如图，是的中线，则__________；（填“”“”或“=”）

问题探究

=3,=4△

（2）如图，在矩形中，，点为的中点，点为上任意一点，当的周长最

小时，求的长；

问题解决

=4,=2

（3）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，点为上任意一点，点为上

任意一点，连接、、是否存在这样的点使折线的长度最小？若存在，请确定点位置，

并求出折线的最小长度；若不存在，请说明理由．

【答案】（）＞；（）=1；（）当点的中点合时，折线的长度最小，最小长度为．

1234

【分析】（）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出=，再根据三角形的三边关

1

系定理即可得；

（2）如图（见解析），先根据矩形的性质得出=3,∠=∠=90°,//，从而可得AE的长，再

根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出△周长最小时，点的位置，然后利用相似三角形的

F

判定与性质即可得；

（3）如图（见解析），先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线的长度最小时，,四点

共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出∠=30°，=23，=2，然后利用轴对称的性

质、角的和差可得，，由此利用勾股定理可求出的长，即折线

∠=90°

=23,=2

的最小长度；设交于点，根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，由此即

=2=

可得折线的长度最小时，点Q的位置．

【详解】（1）如图，延长AD，使得=，连接CE