中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国）专题4一线三等角模型（解析版）.pdf

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

4

专题一线三等角模型

解题策略

在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一

条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．

1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时．

（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．

（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．

2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时．

如图，则有△ACP∽△BPD．

3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时．

如图，则有△ACP∽△BPD．

经典例题

【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本

图形．如图，已知：在△，∠=90°，=，直线经过点，⊥直线，⊥直线，垂

1lAll

足分别为点，．求证：=+．

DE

（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△

=∠=∠=∠=

中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请

问结论=+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过△边，

33AB

AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若=7，则

=______．

【答案】（）见解析；（）结论成立，理由见解析；（）

1233.5

【分析】（）由条件可证明△≌△，可得，，可得；

1ABDCAEDACEAEBDDEBD+CE

（2）由条件可知∠BAD+∠CAE180°-α，且∠DBA+∠BAD180°-α，可得∠DBA∠CAE，结合条件可证明

△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；

（）由条件可知，可得，结合条件可证明△≌△，可得出结论是的中点．

3EMAHGNEMGNEMIGNIIEG

【详解】解：（）证明：如图中，∵⊥直线，⊥直线，

11BDlCEl

∴∠BDA∠CEA90°，

∵∠BAC90°，

∴∠∠，

BAD+CAE90°

∵∠∠，

BAD+ABD90°

∴∠CAE∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∠=∠

∠=∠，

=

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AEBD，ADCE，

∴DEAE+ADBD+CE．

（）解：成立．

2

理由：如图中，

2

∵∠BDA∠BACα，

∴∠DBA+∠BAD∠BAD+∠CAE180°-α，

∴∠DBA∠CAE，

在△ADB和△CEA中，

∠=∠

∠=∠，

=

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴，，

AEBDADCE

∴DEAE+ADBD+CE．

（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线