浙江省余姚中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题.docx

余姚中学2024学年第一学期高二上期中数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1．是双曲线上一点，点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）

A．9或1 B．1 C．9 D．9或2

2．在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（）

A． B． C． D．2

3．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（）

A． B． C． D．

4．阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面的距离为（）

A． B． C． D．

5．已知直四棱柱的底面为矩形，，，且，若点到平面的距离为，则点到直线的距离为（）

A． B． C． D．

6．长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（）

A． B． C． D．

7．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（）

A． B． C． D．

8．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于（）

A． B． C． D．

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9．（多选题）已知曲线，下列结论正确的是（）

A．当时，曲线是一条直线

B．当时，曲线是一个圆

C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为

D．当曲线是面积为的圆时，

10．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（）

A．的周长为6

B．若，则的面积为

C．椭圆上存在两个点，使得

D．的最小值为

11．称为点的“和”，下列说法正确的是（）

A．“和”为1的点的轨迹围成的图形的面积为2

B．设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2

C．设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个的充要条件是

D．设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知数列的前项和，则______．

13．如图，两个正方形，的边长都是2，且二面角的大小为60°，，为对角线和上的动点，且满足，则线段长度的最小值为____________．

14．已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是__________________．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．在等差数列中，，，的前项和为．

（1）求数列的通项公式；（2）求取最大值时的值；（3）设，求．

16．已知数列满足，．

（1）求证：为等比数列；

（2）求数列的前项和．

17．如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿对折至，使得．

（1）证明：；

（2）求面与面所成的二面角的正弦值．

18．已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，．

（1）求的方程；

（2）过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程．

19．已知平面上的动点与定点之间的距离和动点到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于，两个不同的点，为坐标原点．

（1）若直线的方程为，求的面积；

（2）若的面积为，证明：和均为定值．

余姚中学2024学年第一学期高二上期中数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1．【答案】C

【解析】【分析】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．

根据双曲线的定义即可求解结论．

【解答】解：由，得所以

由双曲线的定义可知，所以或9，又，所以．

故选C．

2．【答案】A

【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质，属于简单题

本题先求出该等比数列的公比，再将后式化简，得出和的关系，即可求解

【解答】设等比数列的公比为，因为，所以，即，解得或（舍去）．因为，所以，即，所以，所以或或所以的值为或或，所以的最小值为．故选A．

3．解析：由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且，故动点的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，故，，所以，，所以双曲线的方程为．故选：A．

4．[解]因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为，在平面上任取一点，则，所以点到平面的距离．故选C．

5．[解]以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，连接，由题得，，，令，则，，，，，设平面