高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件新人教A版选修2_2.pptVIP

1.4

生活中的优化问题举例;;PQCN(P为河流MD上任意一点)，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积.;【解题指南】首先依据图形建立适宜的坐标系，设出点的坐标，引入变量构建与面积有关的函数关系式，再利用导数求最值.;【解析】以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，那么D(4,2).;设抛物线方程为y2＝2px.

因为点D在抛物线上，

所以22＝8p，解得.

所以抛物线方程为y2＝x(0≤x≤4).

设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，

那么|PQ|＝2＋y，|PN|＝4-y2.;所以矩形游乐园的面积为

S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4-y2)＝8-y3-2y2＋4y.

求导得S′＝-3y2-4y＋4，令S′＝0，

得3y2＋4y-4＝0，解得或y＝-2(舍).

当y∈时，S′0，函数S为增函数；

当y∈时，S′0，函数S为减函数.;所以当时，S有最大值，得

，

.

所以游乐园最大面积为，

即游乐园的两邻边分别为km，km时，面积最大，

最大面积为km2.;【方法总结】利用导数解决实际问题的根本流程;【稳固训练】矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长.;【解析】设矩形边长AD=2x,那么|AB|=y=4-x2.

那么矩形面积为S=2x(4-x2)(0x2),

即S=8x-2x3,所以S′=8-6x2,

令S′=0，解得(舍去).

当时,S′0;当时，S′0,;所以当时，S取得最大值，

此时,.

即矩形的边长分别为时，矩形的面积最大.;【补偿训练】用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮

做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如下图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？;

【解析】设容器的高为xcm,容器的容积为V(x)cm3,

那么V(x)=x(90-2x)(48-2x)

=4x3-276x2+4320x(0x24),;V′(x)=12x2-552x+4320

=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).

令V′(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).

当0x10时，V′(x)0,V(x)是增函数；

当10x24时，V′(x)0,V(x)是减函数.;因此，在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为

V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19600(cm3).

故当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm3.;类型二费用(用料)最省问题

【典例2】(2021·重庆高二检测)某企业

拟建造如下图的容器(不计厚度，长度

单位：米).其中容器的中间为圆柱形，

左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

立方米.假设该容器的建造费用仅与其外表积有;关.圆柱形局部每平方米建造费用为3千元，半球形局部每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.

(1)将y表示成r的函数f(r)，并求该函数的定义域.

(2)讨论函数f(r)的单调性，并确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用.;【解题指南】(1)总造价等于两个半球合成一个球的外表的造价加上圆柱的侧面的造价.

(2)对y=f(r)求导然后研究单调性与最值.;【解析】(1)因为容器的体积为立方米，

所以,

解得

所以圆柱的侧面积为

两端两个半球的外表积之和为4πr2,;所以

又

所以定义域为;(2)因为

所以令f′(r)0，得;

令f′(r)0，得0r2,

所以f(r)的单调增区间为,单调减区间为(0,2).

所以当r=2时，该容器的建造费用最小,为96π千元，此时，.;【延伸探究】

1.试讨论该容器外表积有无最小值，假设有，求出最

小值；假设没有，说明理由?

【解析】因为容器的体积为立方米，

所以,

解得;所以圆柱的侧面积为

两端两个半球的外表积之和为4πr2，

故该容器的外表积

那么

令S′=0，解得,;所以应在时，取得最小值，而由(1)可知

r∈取不到，所以无最小值.;2.假设由于场地的限制，该容器的半径要限制在

范围内，求容器建造费用的最小值