第5节空间向量及其运算--2025湘教版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

第5节空间向量及其运算

课标解读

1.掌握空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会推导空间两

点间的距离公式.

2.理解空间向量的概念,理解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量

的正交分解及其坐标表示.

3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的

共线与垂直.

5.理解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.

1强基础固本增分

知识梳理

1.空间向量的有关概念抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向

名称概念表示

0

零向量长度为的向量

0

单位向量长度为的向量

—

1

相同相等

相等向量方向且长度的向量

ab

相反向量长度、方向的向量

a的相反向量为-a

相等相反

对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若

共线向量a∥b

bλa,其中λ为实数,则b与a共线或平行

平面

共面向量能平移到同一的向量

—

微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与

平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关

内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.

2.空间向量基本定理

设e,e,e是空间中三个不共面向量,则空间中任意一个向量p可以分解成这

123

三个向量的实数倍之和:pxe+ye+ze,上述表达式中的系数x,y,z由p唯一

123

确定,即若pxe+ye+zexe+ye+ze,则xx,yy,zz.

123123

微点拨1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用

的基础.

2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角

①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作

a,

b,则_________

∠AOB

称为向量a,b所成的角(也称夹角),记作a,b.

(1)两个向量有相同的起点;(2)向量的方向

②范围:0≤a,b≤π.

(2)两个非零向量a,b的数量积:

|a||b|cosa,b

a·b.

误区警示向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即

a·bb·a,(a+b)·ca·c+b·c成立,(a·b)·ca·(b·c)不一定成立.

4.空间向量的坐标表示

设a(a,a,a),b(b,b,b).

123123

ab+ab+ab

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