高中数学一元二次不等式及其解法-知识拓展.doc

一元二次不等式及其解法-知识拓展

【拓展点1】解不等式:a11-3x(a0且a≠1).

思路分析:指数不等式的求解,实质上是利用指数函数y=ax的单调性,将其转化为同解的代数不等式解之.底的大小不确定时需分类讨论.

解:(1)当a1时,原不等式可化为3x2+2x-111-3x,

∴3x2+5x-120.

解得x-3或x.

(2)当0a1时,原不等式可化为3x2+2x-111-3x,

∴3x2+5x-120.

解得-3x.

综上所述,(1)当a1时,解集为{x|x-3或x}.

(2)当0a1时,解集为{x|-3x}.

【拓展点2】定义在(-3,3)上的奇函数f(x)在其定义域内递减,且f(2-a)+f(1-a-a2)0,求实数a的取值范围.

思路分析:利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而建立不等式组解不等式.

解:∵f(x)为奇函数,

∴f(2-a)-f(1-a-a2)=f(a2+a-1).

又f(x)在(-3,3)上递减,

∴

即

解得1a.

故所求a的取值范围为1a.

【拓展点3】(2001年全国)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年底投入800万元,以后每年投入将比上年度减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业有促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年度增加.

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;

(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

思路分析:本题以数列为背景,考查解不等式的有关知识,所以首先建立模型,然后再依题意求解.

解:(1)an是首项为800,公比为的等比数列,bn是首项为400,公比为的等比数列,则

an=4000×［1-()n］;bn=1600×［()n-1］.

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,则bn-an0,

即1600×［()n-1］-4000×［1-()n］0,

化简得5×()n+2×()n-70.

设x=()n,则有5x2-7x+20,

解得x或x1(舍去),

即()n.解得n≥5.

答:至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.

1某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元;公司B的收费原则如图所示,即在用户上网的第1个小时内收费1.7元,第2个小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算).

一般来说,一次上网时间不会超过17个小时,所以,不妨假设一次上网时间总小于17小时.那么,一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少?

解析：假设一次上网x小时,则公司A收取的费用为1.5x(元),

公司B收取的费用为(元).

如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少,则1.5x(0x17),

整理得x2-5x0,解得0x5.

所以,当一次上网时间在5小时以内时,选择A公司的费用少;超过5小时,选择B公司的费用少.

2不等式1的解集是__________________.

思路分析：利用商的符号法则将分式不等式转化为整式不等式.

解:原不等式化为-10,即0,等价于(x-4)(x+3)0,解得x-3或x4.故填{x|x-3或x4}.

答案:{x|x-3或x4}

【案例2】解不等式:lg(x+6)lg3x-lg(x-2).

思路分析：整理成lgf(x)lgg(x)的形式,利用对数函数的单调性求解.

解:原不等式等价于lg(x+6)lg,又等价于∴

即解得2x3.

∴原不等式的解集为{x|2x3}.

【案例3】解不等式:22x.

思路分析:可利用指数函数的单调性求解.

解:原不等式等价于x2-x2x,

即x2-3x0.

解得x0或x3.

思维启示:上面三个不等式都是利用化归思想将其转化为一元一次或一元二次不等式求解.