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积分因子得求法及简单应用

恰当微分方程得概念及判定

恰当微分方程得概念

我们可以将一阶方程

写成微分形式

或把x,y平等瞧待，写成下面具有对称形式得一阶微分方程

⑴

这里假设M(x，y），N(x,y）在某矩形域内就是x，ｙ得连续函数,且具有连续得一阶偏导数,如果方程⑴得左端恰好就是某个二元函数u（x，ｙ）得全微分、

即

则称方程⑴为恰当微分方程、

恰当微分方程得判定

定理1假设函数Ｍ(x，y）与Ｎ(ｘ,y）在某矩形域内就是x,y得连续函数且具有连续得一阶偏导数，则方程⑴就是恰当微分方程得充分必要条件就是在此区域内恒有、

利用定理１我们就可以判定出一个微分方程就是否就是恰当微分方程、

积分因子

如果对于方程⑴在某矩形域内,此时方程⑴就称为非恰当微分方程.对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微得函数u（x,y）≠0,使得为恰当微分方程,则称u（ｘ，y）为方程⑴得１个积分因子、

注可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在,并且不就是唯一得、

定理２函数u（x,y)就是方程⑴得积分因子得充要条件就是

积分因子求法举例

观察法

对于一些简单得微分方程,用观察法就可以得出积分因子

如：

⑴有积分因子

⑵有积分因子,，，,

例１找出微分方程得一个积分因子、

解将原方程各项重新组合可以写成

由于就是得积分因子，也就是得积分因子，从而原方程有积分因子、

观察法只运用于求解简单得微分方程得积分因子,有得可以直接瞧出,有得需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出、

公式法

引理1微分方程⑴存在形如:,，，，,得积分因子得充要条件有:

①方程⑴存在仅与x有关得积分因子得充要条件：

,就是仅与x有关得函数；

②方程⑴存在仅与ｙ有关得积分因子得充要条件：

,就是仅与y有关得函数;

③方程⑴有形如得积分因子得充要条件：

，就是仅与x+ｙ有关得函数,

，就是仅与x-ｙ有关得函数；

④方程⑴有形如得积分因子得充要条件：

，就是仅与ｘｙ有关得函数；

⑤方程⑴有形如得积分因子得充要条件：

，就是仅与有关得函数,

，就是仅与有关得函数；

⑥方程⑴有形如得积分因子得充要条件:

,就是仅与有关得函数.

若方程⑴中得M（ｘ，y），Ｎ（x,ｙ）以及,得关系满足以上6个充要条件之一时,则方程⑴得积分因子ｕ（x，y)都可由一阶线性齐次微分方程求得（其中就是得函数)、可以取,，,，,，由此可得、

我们将上述引理归结为求积分因子得公式法、

例2求解微分方程得积分因子、

解由于，

观察可得:就是关于xy得函数

故原方程有积分因子：、

3、3分组求积分因子法

定理3若u为方程⑴得一个积分因子,且，则也就是方程⑴得积分因子,其中就是v得任一连续可微函数、

也可以说

微分方程

就是第一部分得积分因子，即

就是第二部分得积分因子，即

从,中选择满足得与,其中，就是分别关于,得连续可微函数，这样就是原方程得积分因子、

例3求解微分方程得积分因子、

解将原方程各项重新组合

就是第一部分得积分因子

就是第二部分得积分因子

即,分别就是第一、二部分得积分因子

需满足

令，

则

所以，得到

故原微分方程得积分因子为、