MSD_ 专题04 椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)模型(原卷版).docx

专题04椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)模型

1．椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)求范围型

椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)型求范围的基本思路是借助椭圆、双曲线、抛物线或圆的相关知识，结合题设条件建立目标函数或构建不等式，转化为求函数的值域或解不等式求解．

【例题选讲】

[例9](51)过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()

A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5)))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))

答案A解析由题设知，直线l：eq\f(x,－c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±eq\f(b2,a)，则圆的半径r＝eq\f(b2,a)．又圆与直线l有公共点，所以eq\f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq\f(b2,a)，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(5),5)．又0＜e＜1，所以0＜e≤eq\f(\r(5),5)．故选A．

(52)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥eq\f(4\r(5),5)，则椭圆离心率e的取值范围是________．

答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5)))解析依题意，知b＝2，kc＝2．设圆心到直线l的距离为d，则L＝2eq\r(4－d2)≥eq\f(4\r(5),5)，解得d2≤eq\f(16,5)．又因为d＝eq\f(2,\r(1＋k2))，所以eq\f(1,1＋k2)≤eq\f(4,5)，解得k2≥eq\f(1,4)．于是e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(c2,b2＋c2)＝eq\f(1,1＋k2)，所以0＜e2≤eq\f(4,5)，又由0＜e＜1，解得0＜e≤eq\f(2\r(5),5)．

(53)若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＋c))2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为()

A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(3,5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),5)，\f(\r(3),5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),5)，\f(\r(5),5)))

答案A解析由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞\f(b,2)＋c，,b＜\f(b,2)＋c，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((a－c)2＞\f(1,4)(a2－c2)，,\r(a2－c2)＜2c，))解得eq\f(\r(5),5)＜e＜eq\f(3,5)．

【对点训练】

66．已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆

C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()

A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))C．(1，2)D．(2，＋∞)

67．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆x2－4x＋y2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范