2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题08 平面向量及其应用（真题5个考点精准练+模拟练）解析版.docx

2020-2024年五年高考真题分类汇编

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专题08平面向量及其应用（真题5个考点精准练+精选模拟练）

5年考情

考题示例

考点分析

2024年秋考5、15题

向量平行的坐标表示，平面向量基本定理、空间向量基本定理

2023秋考2题

2023春考2、12题

平面向量的数量积运算

平面向量的坐标运算，平面向量数量积的性质及其运算、空间向量的坐标运算

2022秋考11题

2022春考10题

平面向量数量积的性质及其运算

平面向量数量积的性质及其运算

2021年秋考4题

2021年春考16题

平面向量数量积的性质及其运算

平面向量数量积的性质及其运算

2020年秋考12题

2020年春考9、11题

两个平面向量的和或差的模的最值

平面向量数量积的性质及其运算、向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法

一．两个平面向量的和或差的模的最值（共1小题）

1．（2020?上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是6．

〖祥解〗设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得的最大值．

【解答】解：如图，设，，

由，且，，

分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．

故满足条件的的最大值为6．

故答案为：6．

【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．

二．平面向量的数量积运算（共1小题）

2．（2023?上海）已知向量，，则4．

〖祥解〗直接利用平面向量的坐标运算法则求解．

【解答】解：向量，，

．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．

三．平面向量数量积的性质及其运算（共6小题）

3．（2021?上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是

A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立

〖祥解〗设，，，，，由向量数量的坐标运算即可判断①；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断②

【解答】解：不妨设，，，，，

①，，

若，则，即，

满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立；

②为中点，，与的交点即为重心，

因为为的三等分点，为中点，

所以与不共线，即②不成立．

故选：．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．

4．（2022?上海）若平面向量，且满足，，，则．

〖祥解〗利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．

【解答】解：由题意，有，则，设，

则得，，

由同角三角函数的基本关系得：，

则，

，

则．

故答案为：．

【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．

5．（2022?上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．

〖祥解〗建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，再利用二次函数求最值即可．

【解答】解：建立平面直角坐标系如下，

则，，，

直线的方程为，即，

点在直线上，设，

，，

，

的最小值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．

6．（2021?上海）如图正方形的边长为3，求9．

〖祥解〗根据，直接求解即可．

【解答】解：由数量积的定义，可得，

因为，所以．

故答案为：9．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．

7．（2020?上海）已知、、、、五个点，满足，2，，，2，，则的最小值为．

〖祥解〗可设，从而据题意可得出，，并设，根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值．

【解答】解：设，则，，

设，如图，

求的最小值，则：

，，，

，当且仅当，即时取等号，

的最小值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．

8．（2020?上海）三角形中，是中点，，，，则．

〖祥解〗根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可．

【解答】解：在中，，，，

由余弦定理得，，

，且是的中点，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

四．平面向量的坐标运算（共1小题）

9．（2023?上海）已知向量，，则．

〖祥解〗根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．

【解答】解：因为向量，，

所以，，．

故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．

五．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题）