2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题10 空间向量与立体几何（真题12个考点精准练+模拟练）解析版.docx

2020-2024年五年高考真题分类汇编

PAGE

PAGE1

专题10空间向量与立体几何

（真题12个考点精准练+精选模拟练）

5年考情

考题示例

考点分析

2024年秋考17题

2024年春考10、14、18题

棱锥的体积、直线与平面所成的角

异面直线及其所成的角，空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系、空间两条直线的位置关系，二面角的平面角及求法、直线与平面垂直

2023秋考12、17题

2023春考15、17题

棱锥的结构特征，二面角的平面角及求法、直线与平面平行

异面直线的判定，直线与平面所成的角、点、线、面间的距离计算

2022秋考5、15、17题

2022春考15、17题

圆柱的侧面积，空间中直线与直线之间的位置关系，棱柱、棱锥、棱台的体积、直线与平面所成的角

空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角

2021年秋考9、17题

2021年春考3、17题

空间中的最值问题，直线与平面所成的角、三棱锥的体积

圆锥的侧面积，直线与平面所成的角、棱锥的体积

2020年秋考15、17题

2020年春考6、21题

空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角、圆柱的表面积

几何体的体积，空间点线面的距离的求法

一．棱锥的结构特征（共1小题）

1．（2023?上海）空间中有三个点、、，且，在空间中任取2个不同的点，（不考虑这两个点的顺序），使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有9种．

〖祥解〗根据正四棱锥的性质，分类讨论，即可求解．

【解答】解：如图所示，设任取2个不同的点为、，

当为正四棱锥的侧面时，如图，平面的两侧分别可以做作为圆锥的底面，有2种情况，

同理以、为底面各有2种情况，所以共有6种情况；

当为正四棱锥的截面时，如图，、位于两侧，为圆锥的底面，只有一种情况，

同理以、为底面各有1种情况，所以共有3种情况；

综上，共有种情况．

故答案为：9．

【点评】本题考查正四棱锥的性质，分类讨论思想，属中档题．

二．棱柱、棱锥、棱台的体积（共3小题）

2．（2024?上海）如图为正四棱锥，为底面的中心．

（1）若，，求绕旋转一周形成的几何体的体积；

（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小．

〖祥解〗（1）根据已知条件，先求出，再结合棱锥的体积公式，即可求解．

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．

【解答】解：（1）因为是正四棱锥，

所以底面是正方形，且底面，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以绕旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，

所以；

（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，由题知是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，

设，

则，，

则，0，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，，

故，，，

设为平面的法向量，

则，即，令，则，，

所以，

则，

设直线与面所成角为，

因为，

，

则，

故直线与平面所成角的大小为．

【点评】本题主要考查棱锥体积的求解，以及空间向量的应用，属于中档题．

3．（2022?上海）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，．

（1）求三棱锥体积；

（2）若为中点，求与面所成角大小．

〖祥解〗（1）直接利用体积公式求解；

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求解．

【解答】解：（1）在三棱锥中，因为底面，所以，

又为边中点，所以为等腰三角形，

又．所以是边长为2的为等边三角形，

，三棱锥体积，

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，，，

，，，

平面的法向量，0，，

设直线与平面所成角为，

则直线与平面所成角的正弦值为，

所以与面所成角大小为．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

4．（2020?上海）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面．

（1）若，求四棱锥的体积；

（2）若直线与的夹角为，求的长．

〖祥解〗（1）利用已知条件求出，棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可．

（2）由已知中四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面．异面直线与所成角为，可得为直角三角形，且，，代入求出后，解直角可得答案．

【解答】解：（1）平面，．

，，，

，

所以四棱锥的体积为12．

（2）是正方形，平面，

，

又

平面

异面直线与所成角为，

在中，，

故

在中，

【点评】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．

三．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积（共3小题）

5．（2022?上海）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为．．

〖祥解〗由