北京市第五十中学2025届高三上学期期中检测数学试卷.docx

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北京市第五十中学2025届高三上学期期中检测数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，复数满足，则的虚部为（????）

A． B．

C．3 D．

2．已知集合，则集合（???）

A． B．

C． D．

3．函数，，，且的最小值为，则的值为（???）

A． B．1 C．2 D．3

4．已知向量，则“”是“”的（??）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

5．在中，，则（????）

A． B． C． D．

6．记为数列的前项和．若，则（????）

A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项

C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项

7．在等腰梯形中，.M为的中点，则（????）

A． B． C． D．

8．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（????）

A． B． C． D．

9．点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（????）

A． B． C． D．

10．已知函数若，，使成立，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．二项式的展开式中常数项为.(用数字作答)

12．函数的定义域是．

13．已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是．

14．已知等边的边长为，分别是的中点，则；若是线段上的动点，且，则的最小值为．

15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：

①D1O⊥AC；

②存在一点P，D1O∥B1P；

③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为；

④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

16．在中，．

(1)若，求的面积：

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求．

条件①：；条件②：；条件③：．

17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

18．人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：

“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况

频数

“一个”

6

“一些”

4

“一穷”

2

“一条”

2

其他

假设用频率估计概率.

(1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；

(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；

(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）

19．已知椭圆过点和.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.

20．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求在区间上的最大值与最小值；

(3)当时，求证：．

21．对于数列，，，定义“变换”：将数列变换成数列，，，其中，且，记作．继续对数列进行“变换”，得到数列，，，依此类推．当且仅当得到的数列各项均为0时变换结束．

(1)直接写出2，6，4经过1次“变换”得到的数列，及再经过3次“变换”得到的数列；

(2)若经过次“变换”后变换结束，求的最大值；

(3)设，．已知2，，，且的各项之和为2022，若再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

A

A

B

A

B

C

B

A

1．D

【分析】由，化简得到求解.

【详解】解：因为复数满足，

所以，

所以的虚部为-3，

故选：D

2．C

【分析】明确