高等数学（第二版）上册课件：导数的应用.pptx

§3.5函数的极值与最值

§3.6导数与微分在经济学中的应用

§3.4函数的单调性与凹凸性

§3.3泰勒定理及应用

§3.2洛比达法则

§3.1中值定理

导数的应用

3.1.3柯西中值定理

3.1.2拉格朗日定理

3.1.1罗尔定理

3.1中值定理

极值

3.1.1罗尔定理

如图所示，一个函数在某区

间上可以有不止一个极大值

（极小值），而且可能某个

极小值要比极大值大。

定义3.1

费马引理

可导极值点处导数为零

几何意义：

费马引理的证明：

罗尔定理

罗尔定理指出了对于

且在区间两端点处函数值相等

上至少存在一点，使得在该点

处有水平切线．

定理3.2

罗尔定理的证明：

例题3.1.1

解

拉格朗日中值定理

弦AB所在直线的斜率：

即该切线平行于弦AB．

即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例

使得：

定理3.3

拉格朗日定理的证明：

解：

例题3.1.2

例题3.1.3

证明

例题3.1.4

证明

推论3.1

证明：

推论3.2

*3.1.3柯西中值定理

定理3.4

证明

例题3.1.5

证明

3.2.2∞/∞型不定式的极限

3.2.10/0型不定式的极限

3.2.3其它类型的未定式

小结

思考题

§3.2洛必达法则

上节回顾

1罗尔定理

本节研究

1不定型极限

2拉格朗日定理

3柯西中值定理

2洛必达法则

30/0型不定式的极限

4∞/∞型不定式的极限

5其它类型的未定式

1不定型极限

回忆极限的四则运算法则:

则

如果

则

不存在

如果

四则运算法则不能用！

两个无穷小量之比的极限和两个无穷大量之比的极限称为不定式极限。

不定型极限形式:

（1）如果

称为

型不定型极限

（2）如果

称为

型不定型极限

不定型

不定型

不定型

2洛必达法则

定义在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定不定式的值的方法称为洛必达法则。

30/0型不定式的极限

定理3.5（洛比达法则）若函数

与

满足下列条件：

的某去心邻域

内可导且

，

，

(3)

则

(1)在

(2)

(洛必达法则)

(在x,a之间)

则

故

证

无妨假设

在指出的邻域内任取

推论1

定理1中

换为

之一,

推论2

若

满足定理1条件,

则

定理1仍然成立.

型，且

.

定理3.6若函数

与

满足下列条件：

，在

与

且

，

，

，

，

．

(1)

内可导，

(2)

(3)

则

进一步地，若极限

仍是

型的未定式，此时

与

仍满足适用洛比达法则的条件，则可继续对其运用洛比

（若存在的话）．

达法则，即

【例3.2.1】求

（

）．

解

【例3.2.2】求

解

定理3.7（洛必达法则）

.

连续使用洛必达法则.

=3

3.2.3其他类型

.

其他5种，分别如下：

=0

=0

=1

=0

=1

=0

使用洛必达法则求取极限的注意事项：

（1）洛必达法则的使用一定要符合法则条件，即

侯必须做到每次使用法则都要检验条件是否符合.

（2）要注意洛必达法则里的条件③是结论成立的

充分条件而非必要条件.即使用洛必达法则不能求取

极限不能证明其极限不存在.

据此做法极限不存在，洛必达法则的条件不满足，在

此不适用，但事实上这个极限是存在的.正确的做法应该是

=1

（3）在求极限时，应使用等价无穷小替换等方法尽可能

先简化再求导.

应灵活运用，以达到简便易求.

注：洛必达法则的一个重要应用是泰勒定理，下节将会

继续讨论.

1.求下列极限：

练习3.2

§3.3泰勒(Taylor)公式

3.3.1泰勒定理

3.3.2常用函数的麦克劳林展开式

3.3.3泰勒公式的应用

3.3.1泰勒公式的建立

1.设在处连续，则有

2.设在处可导，则有

例如，当很小时，，

（如下图）

需要解决的问题

如何提高精度?

如何估计误差?

寻找函数,