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专题角平分线定理在圆锥曲线中的应用

19

微点角平分线定理在圆锥曲线中的应用举例

1

【微点综述】

在近几年高考试题中，以角平分线为背景的圆锥曲线试题频繁出现，综合性强，是考查学

“”

生能力的重要载体．本文主要说明圆锥曲线中以角平分线为命题背景的题型及求解策略．

“”

一、两个引理

【引理】双曲线焦点到渐近线的距离FHb，原点到垂足的距离OHa．

1F

22

Fc,0xy

a0b0

证明：如图，是双曲线（，）的焦点，过点作垂直双曲

1FFH

22

ab

HO

线的其中一条渐近线，垂足为，为原点，

b

双曲线渐近线方程为yx，即bxay0，

a

bcbc

圆心到渐近线的距离db．

F

22

abc

在双曲线中，两条渐近线与坐标轴的夹角相等，所以经常可以用角平分线化腐朽为神奇．下

面先给出三角形角平分线定理．

【引理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．

2

ABBM

如：在VABC中，平分BAC，则．

AM

ACCM

11

证明：解法1：（面积法）S△ABMABAMsinBAM，S△ACMACAMsinCAM，

22

S△ABM:S△ACMAB:AC

又ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，

ABBM

ABMSACMSBMCM

即三角形面积：三角形面积：，．

ACCM

CCN//ABN△ABM∽△NCM

解法：（相似）如图，过作交的延长线于，则，

2AM

ABBM

AB/NCBM/CMCANANCACCN

，又可证明，，