高等数学（经济类-上册第2版）课件：导数的应用.pptx

1微分中值定理与导数应用

导数的应用一、函数的单调性与极值二、曲线的凹凸性与拐点三、函数图形的描绘四、小结2

3由在上单调递增，则上单调递增一、函数的单调性与极值1、函数的单调性定理1（单调递减）设在上连续，在内可导，则在的充要条件是在内且在的任何子区间上．（或）证明：取使令由极限保号性得否则，在这子区间上在的任何子区间上，与在上单调递增的条件矛盾．等于某一常数，

的充要条件是在内4在上满足上单调递增定理1（单调递减）设在上连续，在内可导，则在且在的任何子区间上．（或）证明：而由此，可知应有则从而，在上恒为常数，矛盾.拉格朗日中值定理的条件，则故若则证毕.

5在上连续，在内可导，定理1中的闭区间换成其他各种区间，注1结论亦成立.(无穷区间要求在其任意有限的子区间上满足定理条件）判定函数的单调性.例1解：且等号仅当时成立．所以,由定理1可知在上单调递增．判定函数的单调性.例2解：且等号仅当时成立．所以,由定理1可知在上单调递增．

6当时，当时，讨论函数的单调性.例3解：且等号仅当时成立，于是函数在内，在区间上单调减少；且等号仅当时成立，于是函数在内，在区间上单调增加.讨论函数的单调性.例4解：定义域导数不存在.在内;在内.因此，函数在内单调减少；在内单调增加.

77注2单调区间：函数在其定义区间的某个子区间内是单调的.驻点和不可导点有可能是单调区间的分界点.讨论函数的单调性.例5解：这些驻点将定义域分成若干区间，定义域令得列表讨论区间单调性.因此，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

88证明：当时，例6证明：亦即令则在上连续，当时，.在上函数是单调递增的.因此，从而，对任意的，即有在内可导，且

992、函数的极值费马引理：可导的极值点是驻点.驻点一定是极值点吗？是的驻点.但该函数在定义域内单调递增，无极值.函数不一定有不可导的极值点吗？有函数是函数的不可导点.是函数的极小值点.取得极值的可疑点：不可导点驻点如何判定？判定极值的充分条件——必要性

10（或），10（1）若当时，定理2（判定极值的第一充分条件）设在点连续，且在内可导.证明：而当时，则在点取得极大值.（2）若当时，而当时，则在点取得极小值.（3）若对一切都有则在点无极值.由条件及定理1，即在取得极大值.可知在上单调递增，在上单调递减，故总有类似可证明(2)、(3)两种情形．左正右负极大值左负右正极小值

11注3则该点必不是极值点.在函数的连续点两侧，若导数符号不同，则该点必为函数的极值点；若导数符号相同，例7求函数的极值.解：由例5，知根据判定极值的第一充分条件，极小值.极小值点为极大值；函数的极大值点为，

12当时，12定理3（判定极值的第二充分条件）设在点二阶可导，且若则在点取得极大值；若则在点取得极小值.证明：而当时由二阶导数定义，注意到则根据极限的局部保号性，存在，使得于是，当时，由判别极值的第一充分条件，可知在取得极大值．类似可证明另一情形．有

13例8求函数