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§1.3.3函数的最大(小)值与导数;[课标要求]
1.借助函数图象,直观地理解函数的最大值和最小值的概念.(难点)
2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系.(易混点)
3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.(重点);函数的最大(小)值与导数的关系
1.函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有_______和_______.;2.函数最值的求法
求函数y=f(x)在[a,b]上的最值可分两种情况进行:
(1)当函数f(x)单调时:若函数y=f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的________,f(b)为函数的_______;若函数y=f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的__________,f(b)为函数的__________.
(2)当函数f(x)不单调时:
①求y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将y=f(x)的各_______与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.;某一点附近;知识点求函数的最值
【问题1】如图,观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗?;【问题2】对问题1中的函数y=f(x)你能找出它在区间[a,b]上的最大值、最小值吗?在区间(a,b)上呢?
答案函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(a),最小值是f(x3).若区间改为(a,b),则f(x)有最小值f(x3),无最大值.;【问题3】结合问题1、2,思考极值与最值有什么关系?
答案区别:(1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.
(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能一个也没有,函数的最大值一定不小于它的最小值.
(3)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.
联系:极值有可能是最值,最值不在端点处取得的可导函数,其最值一定是极值,同时区间(a,b)内若只有一个极值,则极值一定为最值.;【问题4】求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤是什么?
答案求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤如下:
(1)求函数f(x)的导函数f′(x);
(2)令f′(x)=0,求出使得方程f′(x)=0的所有点;
(3)确定函???y=f(x)在(a,b)内的极值;
(4)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.;;1.求函数f(x)=x5+5x4+5x3+1在区间[-1,4]上的最大值与最小值.;题型二已知函数的最值求参数
【例2】已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.;●规律方法
已知函数最值求参数值的一般步骤
(1)求导数f′(x),并求极值;
(2)利用单调性,将极值与端点处的函数值进行比较,确定函数的最值;
(3)利用最值列关于参数的方程(组),解方程(组)即可.
(4)注意事项:
若参数变化影响着函数的单调性变化,往往要对参数进行分类讨论.;2.已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在[-1,2]上有极大值3,最小值-29,求a,b的值.
解析依题意,显然a≠0.
f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),x∈[-1,2],
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).;题型三利用最值解决恒成立问题
【例3】(12分)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2处取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若对于任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.;●规律方法
利用最值解决不等式恒成立问题的一般步骤
(1)分离参数:把不等式恒成立问题转化为f(x)≥a或f(x)≤a恒成立.
(2)转化为求最值问题:f(x)≥a转化为a≤f(x)min,f(x)≤a转化为a≥f(x)max.
(3)求最值即求f(x)的最大值或最小值.
(4)写出参数范围,a≤f(x)min或a≥f(x)max.
注意不等式中是否含等号与所求参数是否取等号的关系,特殊情况下可进行代入验证.;3.例3中(2)改为“若对任意的x∈[0,3]都有f(x)≥c2成立,求c的取值范围”,如何解答?
解析由例题可知
f(x)=2x3-9x2+12x+8c,
若对于任意的x∈[0,3],都有f(x)≥c2成立,只需f(x)在x∈[0,3]上的最小值大于或等于c2即可.
又当x=1或x=2时,f′(x)=0,;;[审题指导];设函数
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